Question

En un laboratorio un científico estudia el fenómeno de dilatación, en su experimento desea encajar perfectamente un anillo de cobre en un cilindro. El anillo tiene un radio de 2cm a 20°C y un coeficiente de dilatación lineal de 17×10^(-6)°C ¯¹ ; determine a que temperatura el anillo debe ser calentado para que sea introducido en un cilindro cuya área de base es igual a 15cm², considere π = 3.14

Answer 1

El anillo de cobre debe calentarse hasta 5461.17 ºC para lograr llegar al radio del cilindro que se piensa introducir.

Explicación:

Debemos aplicar ecuación de dilatación lineal, tal que:

ΔL = Lo·α·ΔT

Ahora, buscaremos el radio del cilindro que se va a introducir, tal que:

A = π·r²

15 cm² = π·r²

r = 2.185 cm

Entonces, sabemos que el radio inicial es 2 cm, por tanto calculamos la temperatura final.

(2.185 - 2 ) cm = (2 cm)·(17x10⁻⁶ ºC⁻¹)·( Tf - 20ºC)

5441.17 ºC = Tf - 20ºC

Tf = 5461.17 ºC

Por tanto, tenemos que el anillo de cobre debe calentarse a una temperatura de 5461.17 ºC para lograr introducir el cilindro.

Answer 2

Respuesta:5733.75°C

Explicación:

Datos:

r=2cm

\ {{T}_{0}}=20{}^\circ C

\ {{A}_{f}}=15c{{m}^{2}}

\lambda =2\alpha =2(17x{{10}^{-6}}{}^\circ {{C}^{-1}})=34x{{10}^{-6}}{}^\circ {{C}^{-1}}

{{A}_{f}}=15c{{m}^{2}}

a) Encontrar la temperatura final

Si observamos el área inicial es justamente el área del anillo, para calcular el área del anillo debemos aplicar la fórmula del área de un circulo, entonces:

{{A}_{0}}=\pi {{r}^{2}}=\left( 3.14 \right){{\left( 2cm \right)}^{2}}=12.56c{{m}^{2}}

Esto es importante, porque necesitamos colocar la fórmula principal:

\ {{A}_{f}}={{A}_{0}}[1+\gamma \left( {{T}_{f}}-{{T}_{0}} \right)]

Despejamos a la temperatura inicial

\ {{A}_{f}}={{A}_{0}}+\gamma {{A}_{0}}\left( {{T}_{f}}-{{T}_{0}} \right)

\ {{A}_{f}}-{{A}_{0}}=\gamma {{A}_{0}}\left( {{T}_{f}}-{{T}_{0}} \right)

\ \frac{{{A}_{f}}-{{A}_{0}}}{\gamma {{A}_{0}}}={{T}_{f}}-{{T}_{0}}

y finalmente:

\displaystyle \frac{{{A}_{f}}-{{A}_{0}}}{\gamma {{A}_{0}}}+{{T}_{0}}={{T}_{f}}

Invirtiendo la igualdad

\ {{T}_{f}}=\frac{{{A}_{f}}-{{A}_{0}}}{\gamma {{A}_{0}}}+{{T}_{0}}

Ahora podemos sustituir nuestros datos sin ningún problema:

{{T}_{f}}=\frac{15c{{m}^{2}}-12.56c{{m}^{2}}}{\left( 34x{{10}^{-6}}{}^\circ {{C}^{-1}} \right)\left( 12.56c{{m}^{2}} \right)}+20{}^\circ C

Realizando las operaciones del numerador y denominador, obtenemos:

\displaystyle {{T}_{f}}=\frac{2.44c{{m}^{2}}}{0.00042704{}^\circ {{C}^{-1}}c{{m}^{2}}}+20{}^\circ C

Realizando la división correspondiente

\displaystyle {{T}_{f}}=5713.75{}^\circ C+20{}^\circ C

Y finalmente sumamos : {{T}_{f}}=5733.75{}^\circ C

Es decir, que necesitamos que el anillo alcance una temperatura de 5733.75 °C para que pueda ser perfectamente introducido en el cilindro.