Question

Alguien que me ayude con este ejercicio de integral porfa

Answer 1

$\displaystyle{\int \frac{x}{(2x+1)^{\frac{1}{2}}}dx=\int x\times \frac{1}{(2x+1)^{\frac{1}{2}}}}$

Por sustitución:

$z=2x+1\Rightarrow dz=2dx\Rightarrow \frac{dz}{2}=dx\wedge x=\frac{z-1}{2}$

$\displaystyle{\int\frac{\frac{z-1}{2}\times \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}\frac{dz}{2}}}$

$\displaystyle{\int\frac{1}{4}\times{z-1}{z^{\frac{1}{2}}}dz}$

$\displaystyle{\frac{1}{4}\int\frac{z-1}{z^{\frac{1}{2}}}dt=\frac{1}{4}\int\left(\frac{z}{z^{\frac{1}{2}}}-\frac{1}{z^{\frac{1}{2}}}\right)dt}$

aplicando propiedades de las Integrales

$\displaystyle{\int\frac{z}{z^{\frac{1}{2}}}dz-\int\frac{1}{z^{\frac{1}{2}}dz}$

para la primera integral aplicar propiedad de los exponentes $\frac{a^b}{a^c}=a^{b-c}$

$\displaystyle{int \frac{z}{z^{\frac{1}{2}}}dz=\int z^{1-\frac{1}{2}}=\int z^{\frac{1}{2}}}$

ahora la integral quedó:

$\displaystyle{\frac{1}{4}\right(\int z^{\frac{1}{2}}dz-\int z^{-\frac{1}{2}}dz\left)}$

ahora las Integrales salen inmediatas:

$\begin{cases}\int z^{\frac{1}{2}}dz=\frac{2}{3}z^{\frac{3}{2}}\cr \int z^{-\frac{1}{2}}dz=2z^{\frac{1}{2}}\end{cases}$

$\displaystyle{\frac{1}{4}\left(\int z^{frac{1}{2}}dz-\int z^{-\frac{1}{2}}dz\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{2}{3}z^{\frac{3}{2}}-2z^{\frac{1}{2}}\right)}$

pero $z=2x+1$ entonces:

$\displaystyle{\int\frac{x}{(2x+1)^{\frac{1}{2}}}dx=\frac{1}{4}\right(\frac{2}{3}(2x+1)^{frac{3}{2}}-(2x+1)^{\frac{1}{2}}\left)+k}$

$\mathrm{\large{Respuesta:}}$

$\displaystyle{\int\frac{x}{(2x+1)^{\frac{1}{2}}}dx=\frac{1}{6}(2x+1)^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}(2x+1)^{\frac{1}{2}}+k}$