Respuestas
La superficie de la base la hallamos restando de la superficie total la superficie de 4 cuadrados de x dm por lado. (omito las unidades)
S = 5 . 8 - 4 x²
La altura de la caja es x. El volumen es entonces:
a) V(x) = (40 - 4 x²) x = 40 x - 4 x³
b) Considerando el lado de 5, los dos cortes no pueden ser mayores que 2,5. La desigualdad se obtiene de
5 - 2 x > 0; o sea x < 5/2
c) Se adjunta dibujo de la función volumen, respetando la restricción.
d) En el dibujo se observa que el volumen máximo es 48,7 dm³ aprox.
Corresponde con x ≅ 1,83 dm
Base de la caja (2): 5 - 2 . 1,83 = 1,34 dm (uno de los lados)
8 - 2 . 1,83 = 4,34 dm (el otro lado)
4 solapas de:
4 - 1,83 = 2,17 dm (largo)
1,83 dm (ancho)
2 solapas de:
1,83 dm (ancho)
1,34 dm (largo)
Si se sabe Cálculo, el valor de x se obtiene analíticamente.
Una función es máxima en los puntos en que su primera derivada es una y la segunda derivada es negativa.
V'(x) = 40 - 12 x²
V''(x) = - 24 x (negativa porque x > 0)
40 - 12 x² = 0; x = √(40/12) = 1,826 dm ≅ 1,83 dm
Mateo
