Respuestas
La fórmula general para el n-ésimo número cuadrado es n2. Esta expresión es igual a la suma de los primeros n números impares, demostrable por inducción matemática, registrada en la siguiente fórmula:
{\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}\;(2k-1)} {\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}\;(2k-1)}
Ejemplo:
{\displaystyle 5^{2}=\sum _{k=1}^{5}\;(2k-1)=1+3+5+7+9=25} {\displaystyle 5^{2}=\sum _{k=1}^{5}\;(2k-1)=1+3+5+7+9=25}
El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange establece que cualquier número entero positivo puede ser escrito como la suma de cuatro cuadrados perfectos. Tres cuadrados no son suficientes para ser representados como números de la forma 4k(8m + 7). Un número positivo puede ser representado como una suma de dos cuadrados precisamente si la factorización en números primos no contiene potencias impares de la forma 4k + 3. Esta es una generalización del problema de Waring.
Si el último dígito de un número es 0, su cuadrado acaba en 00 y los precedentes dígitos deben ser también un cuadrado.
Si el último dígito de un número es 1 o 9, su cuadrado termina en 1 y el número formado por su precedentes debe ser divisible por cuatro.
Si el último dígito de un número es 2 u 8, su cuadrado concluye en 4 y el dígito anterior debe ser un número par.
Si el último dígito de un número es 3 o 7, su cuadrado tiene como cifra final el 9 y el número formado por los dígitos a su izquierda debe ser divisible entre cuatro.
Si el último dígito de un número es 4 o 6, su cuadrado remata en 6 y el dígito antecesor debe ser impar.
Si el último dígito de un número es 5, su cuadrado tiene 25 por cifras finales y los dígitos predecesores deben ser 0, 2, 06, o 56.
Los cuadrados perfectos, escritos en notación decimal, no terminan en 2, ni 3, tampoco en 7, menos en 8.