Question

Dar solución a las siguientes ecuaciones diferenciales de orden superior homogéneas
3y´´-12y´+5y=0

Answer 1

La solucion de la ecuacion diferencial de orden superior homogeneas es:

$y=c_1e^{\frac{\left(6+\sqrt{21}\right)x}{3}}+c_2e^{\frac{\left(6-\sqrt{21}\right)x}{3}}$

Paso a paso:

Ecuacion dada:

$3y''\:-12y'\:+5y=0$

Ecuacion lineal de segundo orden con coeficientes constantes

$\mathrm{Una\:EDO\:homogenea,\:lineal\:de\:segundo\:orden\:tiene\:la\:siguiente\:forma\:}\:\:ay''+by'+cy=0\mathrm{Para\:una\:ecuación\:}ay''+by'+cy=0\mathrm{,\:asumir\:una\:solución\:con\:la\:forma\:}e^{γx}$

Escribimos la ecuacion con y=e^{γx}

$3\left(\left(e^{γx}\right)\right)''\:-12\left(\left(e^{γx}\right)\right)'\:+5e^{γx}=0$

$\mathrm{Simplificar\:}3\left(\left(e^{γx}\right)\right)''\:-12\left(\left(e^{γx}\right)\right)'\:+5e^{γx}=0:\quad e^{γx}\left(3γ^2-12γ+5\right)=0$

$e^{γx}\left(3γ^2-12γ+5\right)=0$

$\mathrm{Resolver\:}\:e^{γx}\left(3γ^2-12γ+5\right)=0:\quad γ=\frac{6+\sqrt{21}}{3},\:γ=\frac{6-\sqrt{21}}{3}$

$γ=\frac{6+\sqrt{21}}{3},\:γ=\frac{6-\sqrt{21}}{3}$

$\mathrm{Para\:dos\:raices\:reales\:}γ_1\ne \:γ_2\mathrm{,\:la\:solución\:general\:toma\:la\:forma:\quad }y=c_1e^{γ_1\:x}+c_2e^{γ_2\:x}c_1e^{\frac{6+\sqrt{21}}{3}x}+c_2e^{\frac{6-\sqrt{21}}{3}x}$

Simplificando:

$y=c_1e^{\frac{\left(6+\sqrt{21}\right)x}{3}}+c_2e^{\frac{\left(6-\sqrt{21}\right)x}{3}}$

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