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Agrupación de símbolos y el orden de operaciones
Símbolos de agrupación como paréntesis ( ), llaves , corchetes [ ], y barras de fracción pueden usarse para controlar aún más el orden de las cuatro operaciones aritméticas básicas. Las reglas del orden de operaciones requieren que se realice primero el cálculo dentro de los símbolos de agrupación, incluso si estás sumando o restando dentro de los símbolos de agrupación y tienes multiplicaciones afuera de éstos símbolos. Después de calcular dentro de los símbolos de agrupación, divide o multiplica de izquierda a derecha y luego resta o suma de izquierda a derecha.
Orden de operaciones
Objetivos de aprendizaje
· Usar el orden de operaciones para simplificar expresiones, incluyendo aquellas con paréntesis.
· Usar el orden de operaciones para simplificar expresiones que contienen exponentes y raíces cuadradas.
Introducción
Necesitamos un conjunto de normas comunes para realizar cálculos. Hace muchos años, los matemáticos desarrollaron un orden de operaciones estándar que nos indica qué operaciones hacer primero en una expresión con más de una operación. Sin un procedimiento estándar para hacer cálculos, dos personas podrían obtener diferentes resultados para el mismo problema. Por ejemplo, 3 + 5 • 2 tiene sólo una respuesta correcta. ¿Es 13 o 16?
El orden de las operaciones suma, resta, multiplicación y división
Primero, considera expresiones que incluyan una o más operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación, y división. El orden de operaciones requiere que todas las multiplicaciones y divisiones se hagan primero, yendo de izquierda a derecha en la expresión. El orden en el cual se calculan la multiplicación y división está determinado por cuál aparece primero, de izquierda a derecha.
Después que se han completado la multiplicación y la división, suma y resta en orden de izquierda a derecha. El orden también está determinado por la que aparece primero de izquierda a derecha.
A continuación, hay tres ejemplos mostrando el orden apropiado de operaciones para expresiones con suma, resta, multiplicación, y/o división,
Ejemplo
Problema
Simplifica 60 – 30 ÷ 3 • 5 + 7.
60 – 30 ÷ 3 • 5 + 7
El orden de operaciones te dice que hagas la multiplicación y la división primero, de izquierda a derecha, antes de hacer la suma y la resta.
60 – 10 • 5 + 7
60 – 50 + 7
Continúa haciendo la multiplicación y la división de izquierda a derecha.
10 + 7
17
Ahora, suma y resta de izquierda a derecha. (Nota que la suma no se hace necesariamente antes que la resta.)
Respuesta 60 – 30 ÷ 3 • 5 + 7 = 17
Realizando el orden de operaciones con exponentes y raíces cuadradas
Hasta ahora, nuestras reglas nos permiten simplificar expresiones que tengan multiplicación, división, suma, resta o símbolos de agrupación. ¿Qué pasa si un problema tiene exponentes o raíces cuadradas? Necesitamos expandir nuestras reglas de orden de operación para incluir a los exponentes y a las raíces cuadradas.
Si la expresión tiene exponentes o raíces cuadradas, deben ejecutase después de que lo hayan hecho los símbolos de agrupación y hayan sido simplificados y antes que cualquier multiplicación, división, suma y resta que esté fuera del paréntesis o en otro grupo de símbolos.
Nota que calculas de operaciones complejas a operaciones básicas. La suma y la resta son las operaciones más básicas. Probablemente las aprendiste primero, La multiplicación y la división, aunque se repiten en la suma y en la resta, son más complejas y vienen antes que la multiplicación y la división en el orden de operaciones. Los exponentes y las raíces cuadradas se repiten y como son aún más complejas, deben venir antes de la suma y la resta en el orden de operaciones. Los exponentes y las raíces cuadradas están repetidas en la multiplicación y la división, y como son más complejas, se realizan antes que la multiplicación y la división. Algunos ejemplos que muestran el orden de operaciones implicando exponentes y raíces cuadradas son muestran abajo.
Explicación paso a paso:
Algunas personas usan una frase para ayudarse a recordar el orden de operaciones. La frase se llama PEMDAS o “Please Excuse My Dear Aunt Sally.” La primera letra de cada palabra inicia con la misma letra de la operación aritmética.
Please Paréntesis (y otros símbolos de agrupación)
Excuse Exponentes
My Dear Multiplicación y División (de izquierda a derecha)
Aunt Sally Adición y Sustracción (de izquierda a derecha)
Note: Incluso cuando la multiplicación viene antes que la división en la frase, la división podría venir primero. Qué se realiza primero, entre la multiplicación y la división, depende de qué aparezca primero cuando se lee de izquierda a derecha. Lo mismo sucede con la suma y la resta. ¡No dejes que la frase te confunda en esto!