Respuestas
Son dos métodos diferentes, pero relacionados:
La reducción al absurdo demuestra la falsedad de una afirmación deduciendo de ella alguna contradicción.
La demostración indirecta establece la verdad de una afirmación demostrando la falsedad de la afirmación contraria.
Veamos dos ejemplos clásicos:
Demostrar que hay infinitos números primos (resultado de Euclides).
Supongamos que los números primos no son infinitos. Entonces, serían finitos:
2, 3, 5, 7,... P
Siendo P el mayor de todos los números primos.
Consideramos ahora el número H = (2·3·5·7· ...·P) + 1
H no es primo, pues es mayor que P. Entonces H debe tener algún divisor primo.
Pero si dividimos H por cualquiera de los números primos, obtendremos resto 1, por la forma en que se ha definido H.
hemos llegado a una contradicción. Luego la afirmación inicial es cierta.
En el anterior ejemplo, hemos demostrado un teorema combinando los dos métodos: demostración indirecta y reducción al absurdo. En efecto, para demostrar el teorema hemos refutado su contrario. Y para refutar éste, de él hemos deducido una contradicción.
También es célebre la demostración indirecta de Cantor para demostrar que el conjunto de los números reales no es numerable. Supone que todos los números reales pudieran ser dispuestos formando una sucesión:
r1 = N1, a1a2a3a4a5 ...
r2 = N2, b1b2b3b4b5 ...
r3 = N3, c1c2c3c4c5 ...
..................................
y, a partir de dicha sucesión, por un "proceso diagonal", construye un número
r = 0, a b c ...