Question

Calcule la integral


$A=\displaystyle\int_{1}^{4}xdx$



Exijo una explicación muy detallada !​

Answer 1

El valor de la integral es de 7.5.

Explicación.

Para resolver este problema se tiene que la integral es la siguiente:

A = ∫⁴₁(x)dx

Aplicando la integral inmediata se tiene lo que se muestra a continuación:

A = x²/2 |⁴₁

Se evalúa dicha integral entre sus extremos y finalmente se tiene que:

A = (4² - 1²)/2

Aplicando la operación matemática:

A = (16 - 1)/2

A = 15/2

A = 7.5

Answer 2

¡Hola!

Calcule la integral

$A=\displaystyle\int_{1}^{4}xdx$

solución:

*  vamos a resolver $\int xdx$

Por la regla de potencia

$\int x^adx=\dfrac{x^{a+1}}{a+1}$ , si: a≠-1

$\int x^adx=\dfrac{x^{1+1}}{1+1}$

$\int x^adx=\dfrac{x^2}{2}$

En integrales indefinidas, añadimos una constante (C), veamos:

$\quad \int \:xdx=\dfrac{x^2}{2}+C$

* ahora,  vamos a resolver el límite $\displaystyle\int_{1}^{4}xdx$

Aplicamos la siguiente regla de la propiedad de los límites

$\int _a^bf\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)=\lim _{x\to \:b-}\left(F\left(x\right)\right)-\lim _{x\to \:a+}\left(F\left(x\right)\right)$

- En $\lim _{x\to \:a+}\left(F\left(x\right)\right)$ , tenemos:

$\lim _{x\to \:1+}\left(\dfrac{x^2}{2}\right)$

$\lim _{x\to \:1+}\left(\dfrac{x^2}{2}\right)=\dfrac{1^2}{2}$

$\lim _{x\to \:1+}\left(\dfrac{x^2}{2}\right)=\boxed{\dfrac{1}{2}}$

- En $\lim _{x\to \:b-}\left(F\left(x\right)\right)$

$\lim _{x\to \:4-}\left(\dfrac{x^2}{2}\right)$

$\lim _{x\to \:4-}\left(\dfrac{x^2}{2}\right)=\dfrac{4^2}{2}$

$\lim _{x\to \:4-}\left(\dfrac{x^2}{2}\right)=\dfrac{16}{2}$

$\lim _{x\to \:4-}\left(\dfrac{x^2}{2}\right)=\boxed{8}$

* Entonces, tenemos:

$\int _a^bf\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)=\lim _{x\to \:b-}\left(F\left(x\right)\right)-\lim _{x\to \:a+}\left(F\left(x\right)\right)$

$\int _1^4f\left(x\right)dx=F\left(4\right)-F\left(1\right)=\lim _{x\to \:4-}\left(\dfrac{x^2}{2}\right) -\lim _{x\to \:1+}\left(\dfrac{x^2}{2}\right)$

$si, A = \int _1^4xdx$

$A = \int _1^4xdx=8 - \dfrac{1}{2}$

$A = 8 - \dfrac{1}{2}$

el mínimo común múltiplo (mcm) = 2

$A = \dfrac{16}{2} - \dfrac{1}{2}$

$\boxed{\boxed{A = \dfrac{15}{2}}}\:\:\:o\:\:\boxed{\boxed{A = 7.5}}\:\:\:\:\:\:\bf\purple{\checkmark}$

_______________________

$\bf\purple{I\:Hope\:this\:helps,\:greetings ...\:Dexteright02!}\:\:\ddot{\smile}$