Question

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Se desea construir un recipiente cilíndrico cuya altura es el triple de su radio y en uno de los extremos se coloca un casquete esférico del mismo radio que el cilindro. ¿Cuál es el volumen del recipiente? Expresa el radio en función del volumen

Answer 1

Tarea:

Se desea construir un recipiente cilíndrico cuya altura es el triple de su radio y en uno de los extremos se coloca un casquete esférico del mismo radio que el cilindro. ¿Cuál es el volumen del recipiente?

Expresa el radio en función del volumen

Respuesta:

$r=\sqrt[3]{\dfrac{3V}{11\pi } }$

Explicación paso a paso:

Represento el radio como "r" y la altura del cilindro, al ser el triple que el radio se representa como "3r", ok?

Acudo a la fórmula del volumen del cilindro que es área de la base por la altura. El área de la base es el área del círculo con el radio indicado, es decir:

Área base = π × r²

Esto lo multiplico por la altura y tenemos expresado el volumen del cilindro:

Volumen cilindro = π × r² × 3r  =  3πr³

El casquete esférico, al tener el mismo radio que el cilindro será una semiesfera con ese radio. Acudo a la fórmula del volumen de la esfera y la divido entre 2 para obtener el volumen de la semiesfera:

Volumen esfera = 4/3 × π × r³ ... dividiendo entre 2 nos queda...

Volumen semiesfera = 2/3 × π × r³ =  2πr³ / 3

Solo queda sumar los dos volúmenes para llegar a la solución:

$Volumen\ recipiente=3\pi r^3+\dfrac{2\pi r^3 }{3} =\pi r^3*(3+\dfrac{2}{3})=\dfrac{11\pi r^3}{3}$

Como nos pide el radio en función del volumen, hay que despejarlo de esa expresión y nos quedaría:

$r=\sqrt[3]{\dfrac{3V}{11\pi } }$