Question

Tipo de ejercicios 3 – Sustitución Trigonométrica y Fracciones parciales. Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración adecuado: Ejercicio c.
∫▒x^2/√(x^2-4) dx

Answer 1

Respuesta:

$\int\limits {\frac{x^2}{\sqrt{x^2-4}} } \, dx = 2ln(\sqrt{\frac{x^{2} }{4 }-1 }+ \frac{x}{2})+ x\sqrt{\frac{x^{2} }{4 }-1}$

Explicación paso a paso:

El objetivo es resolver esta integral indefinida:

$\int\limits {\frac{x^2}{\sqrt{x^2-4}} } \, dx$

Por las característica de la integral, se puede resolver por sustitución trigonométrica. Sabemos que:

$x^{2}-a^{2} => a sec\theta \\a=2\\x^{2}-2^{2}= > x=2 sec\theta$

Sustituyendo también:

$dx = 2sec(\theta)tan(\theta) d\theta$

La integral queda como:

$\int\limits {\frac{(2 sec\theta)^2}{\sqrt{(2 sec\theta)^2-4 }} } \, 2sec(\theta)tan(\theta)d\theta\\\int\limits {\frac{8sec^3\theta*tan(\theta)}{\sqrt{4} \sqrt{sec^2\theta-1 }} } \,d\theta\\4\int\limits {\frac{sec^3\theta*tan(\theta)}{ \sqrt{tan^2\theta}} } \, d\theta\\4\int\limits {\frac{sec^3\theta*tan(\theta)}{ tan\theta } \, d\theta$

La integral nos queda entonces:

$4\int\limits { sec^3\theta } \, d\theta =4( \frac{ln(tan\theta+sec\theta)}{2} + \frac{sec\theta*tan\theta}{2} )=2ln(tan\theta+sec\theta)+ 2sec\theta*tan\theta$

Reemplazando la variable Theta por :

$\theta=arcsec(\frac{x}{2} )}\\tan \theta = tan (arcsec(\frac{x}{2} ))=\sqrt{\frac{x^{2} }{4 }-1}\\sec\theta= sec (arcsec(\frac{x}{2} ))=\frac{x}{2}$

Sustituimos en el resultado:

$\int\limits {\frac{x^2}{\sqrt{x^2-4}} } \, dx = 2ln(\sqrt{\frac{x^{2} }{4 }-1 }+ \frac{x }{2})+ x\sqrt{\frac{x^{2} }{4 }-1}$