Question

¿Toda función inyectiva es sobreyectiva?


He estado viendo respuestas en internet y me encuentro con que la gente afirma esto: "Toda función sobreyectiva es inyectiva" entonces se está afirmando que "Toda función sobreyectiva es biyectiva", pero para mi esto no tiene sentido. Por que si analizamos una función $f : R \rightarrow R$ definida por $f(x)=x^3-3x$ (he adjuntado la imagen de la gráfica), podemos observar que SI es sobreyectiva (pueden verla con su grafica) pero NO es inyectiva por lo tanto no es biyectiva.


Entonces yo ya he visto incluso metiendo funciones al Wolframalpha que existen sobreyectivas que NO son biyectivas. Así que hay muchas respuestas malas que rondan por allí incluso en brain.ly, mi duda es si estoy en lo correcto (ya que me puedo estar equivocando) y si es así entonces acaso ¿no es cierto que toda función inyectiva debería ser biyectiva?


Muchas gracias.

Answer 1

Por supuesto que NO. No hay ninguna condición suficiente Y exclusiva que nos indique que una función sobreyectiva sea también inyectiva ya que si esto fuera cierto no tendría sentido la definición de aplicación biyectiva pues todas lo serían.
Por tanto tienes siempre que comprobar el sobreyectismo e inyectismo para valorar si una aplicación en el conjunto que sea es biyectiva.
¡Buen día!