Question

Hallar módulo, dirección, y sentido del Hallar módulo, dirección, y sentido del siguiente vector. Dados: a ⃗ = (5, 12) y b ⃗ = (1, k), donde k es un escalar, encuentre (k) tal que la medida en radianes del ángulo b ⃗ y a ⃗ sea π/3.siguiente vector. Dados: a ⃗ = (5, 12) y b ⃗ = (1, k), donde k es un escalar, encuentre (k) tal que la medida en radianes del ángulo b ⃗ y a ⃗ sea π/3.

Answer 1

Quizá la pregunta solo sea esta: "Dados: a ⃗ = (5, 12) y b ⃗ = (1, k), donde k es un escalar, encuentre (k) tal que la medida en radianes del ángulo b ⃗ y a ⃗ sea π/3", ya que la primera parte "Hallar módulo, dirección, y sentido del siguiente vector" no tiene sentido ya que hay dos vectores y faltaría especificar.

A lo que vamos, para hallar un ángulo entre dos vectores se emplea la siguiente fórmula:

$Cos\alpha=\frac{A.B}{|A||B|}$

Donde A.B es el producto escalar de los vectores A y B

|A| y |B| son los módulos de los vectores A y B, respectivamente

Tenemos los vectores A = (5,12)  y  B = (1,k)

Primero hallamos el producto escalar:

$A.B=5\times 1+12\times k=5+12k$  

(se multiplica componente x con comp x y comp y con comp y ; y luego se suman)

Hallamos los módulos de A y B:

$|A|=\sqrt{5^2+12^2} =\sqrt{25+144} =\sqrt{169} =13$

$|B|=\sqrt{1^2+k^2}=\sqrt{1+k^2}$

El ángulo $\alpha$ es $\pi /3~rad$, que transformado a sexagesimal es 60°, y además:

$Cos~60^{\circ}=\frac{1}{2}$

Reemplazando todos los datos en la fórmula y hallamos k:

$\frac{1}{2} =\frac{5+12k}{13.\sqrt{1+k^2}}$

$13.\sqrt{1+k^2}=10+24k$ , elevando al cuadrado:

$169(1+k^2)=100+480k+576k^2$

$169+169k^2=100+480k+576k^2$

$69=480k+407k^2$

$407k^2+480k-69=0$

Lo resolveremos por la fórmula general cuadrática, donde tendremos dos soluciones de k:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac} }{2a}$

a=407 , b=480  c=-69

Para la primera raíz:

$k_1=\frac{-480+\sqrt{480^2-4.407.(-69)} }{2.407} =\frac{-480+\sqrt{342732} }{814}$

A simple vista es imposible de calcular a mano, por lo que tenemos que emplear una calculadora, y nos sale:  $k_1=0,1295$

Ahora para $k_2$ es el mismo procedimiento solo que en vez de + en el $\pm$ ahora es -

$k_2=-1,3089$

Ahora tendremos que comprobar cada solución en la fórmula para saber cuál se asemeja al $Cos60=0,5$. Al hacer esto nos damos cuenta que ambos se asemejan, pero con $k_1$ sale positivo y con $k_2$ sale negativo.

Por lo tanto descartamos $k_2$ y nos quedamos con un único k:

$k=0,1295$

Espero haberte ayudado. Saludos

Answer 2

Los valores de k son : 0.129 y -1.308.

El valor de k se calcula aplicando la fórmula de producto escalar entre los vectores a y b , debido a que se conoce el ángulo entre los vectores a y b que es π/3 rad de la siguiente manera :

→                  →

a  = (5,12)     b=( 1,k)

k=?

α= π/3

  →                                           →

I a I = √5²+12²  = 13               Ib I = √1²+k²

→  →

a *b  = 5 +12k

→   →     →       →

a* b = Ia I * I bI * cosα

  Se despeja cosα:

 Cosπ/3  =  ( 5+12k)/13*√(1+k²)

   1/2 = (5+12k)/13√1+k²

  13√( 1+k²) = 10 +24k se eleva al cuadrado ambos miembros :

   169 *( 1+k²) = (10+24k )²

     169 + 169k²= 100 + 480k + 576k²

    407k²+480k-69=0   Al resolver la ecuación de segundo grado resulta :

      k= 0.129     k= -1.308