Question

Encuentre cuatro números enteros consecutivos que al multiplicarlos y dividir su producto entre su suma de como cociente 20

Answer 1

SEA:

$\boldsymbol{x:}\ \text{El primer n\'umero.}\\\boldsymbol{x+1:}\ \text{El segundo n\'umero.}\\\boldsymbol{x+2:}\ \text{El tercer n\'umero.}\\\boldsymbol{x+3:}\ \text{El cuarto n\'umero.}$

Planteamiento: Si nos dicen que el producto de los 4 números se dividen entre su suma, obteniendo como cociente 20, en consecuencia planteas:

$\boxed{\boxed{\mathbb{EXPRESIONES:}}}\Longrightarrow\quad\begin{matrix} \textbf{El producto de 4}&\\ \textbf{n\'umeros consecutivos} &\\\textbf{divididos entre su suma:}&&\textbf{Cociente:}\\ \\\dfrac{x(x+1)(x+2)(x+3)}{x+x+1+x+2+x+3}&&20 \end{matrix}$

RESOLVIENDO: Ahora igualas las expresiones para armar nuestra ecuación:

$\dfrac{x(x+1)(x+2)(x+3)}{x+x+1+x+2+x+3}=20\quad\to\textbf{El denominador pasa a multiplicar.}\\ \\ \\x(x+1)(x+2)(x+3)=20(x+x+1+x+2+x+3)\\ \\(x^2+x)(x^2+5x+6)=20(4x+6)\\ \\x^4+5x^3+6x^2+x^3+5x^2+6x=80x+120\quad\to\textbf{Simplificas.}\\ \\x^4+6x^3+11x^2+6x=80x+120\\ \\x^4+6x^3+11x^2+6x-80x-120=0\\ \\x^4+6x^3+11x^2-74x-120=0\quad\to\textbf{Soluci\'on por Teorema de Gauss.}$

Es una ecuación bicuadrada de la forma ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0, en donde definimos el conjunto de divisores del término independiente (e):

$\boldsymbol{P=D_{120}\ :}\\\{\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm5,\pm6,\pm8,\pm10,\pm12,\pm15,\pm20,\pm24,\pm30,\pm40,\pm60,\pm120\}$

Defines el conjunto de divisores del término con mayor exponente (a), en donde:

$q=D_{1}=\{\pm1\}$

Si el término con mayor exponente tiene como coeficiente el número 1, en consecuencia, el conjunto de posibles raices queda así:

$\boldsymbol{\dfrac{P}{q}=}\\ \\\{\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm5,\pm6,\pm8,\pm10,\pm12,\pm15,\pm20,\pm24,\pm30,\pm40,\pm60,\pm120\}$

Ahora evalúas cada posible raíz en la ecuación original hasta que quede igualada a cero; en este caso, el número buscado dió como resultado 3.

$P_{(x)}=x^4+6x^3+11x^2-74x-120=0\\ \\P_{(3)}=(3)^4+6(3)^3+11(3)^2-74(3)-120=0\\ \\P_{(3)}=81+6(27)+11(9)-222-120=0\\ \\P_{(3)}=81+162+99-342=0\\ \\P_{(3)}=342-342=0\\ \\P_{(3)}=0=0\quad\Longrightarrow\boxed{\textbf{El n\'umero 3 satisface la ecuaci\'on.}\ \checkmark}$

Si el 3 es el primer valor del conjunto solución, que consiste en cuatro números enteros consecutivos, en consecuencia, se expresan como:

$\boldsymbol{\therefore{C.S.}}=\{3;4;5;6\}$

Respuesta: Los números buscados son 3, 4, 5, 6.

MUCHA SUERTE...!!

Answer 2

Respuesta:

Explicación paso a paso:

Encuentre cuatro números enteros consecutivos que al multiplicarlos y dividir su producto entre su suma de como cociente 20