Question

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Answer 1

Tarea:

Sea la función

$F:[0,+\infty)\longrightarrow\mathbb{R}, F(x)=\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{1}{x+4}$

 a) Determina la función f:(0,+∞)→R, tal que F sea una primitiva para la f.

 b) Demuestre que F es decreciente en [0,+∞)

 c) Demuestre que

$\frac{1}{20}\leq\int\limits^1_0 {F(x)} \, dx \leq \frac{1}{2}$

Respuesta:

 a) La función f(x) tal que F(x) es la primitiva es: 1/(x+4)²-1/(x+3)²

 b) Verdadero.

 c) Verdadero.

Explicación paso a paso:

 Recordemos que F(x) es primitiva de f(x) si dF(x)/dx = f(x), entonces la primitiva de f(x) será F'(x).

$F'(x)=(\dfrac{1}{x+3})'-(\dfrac{1}{x+4})'=\dfrac{(1)'(x+3)-(1)(x+3)'}{(x+3)^{2}}-\dfrac{(1)'(x+4)-(1)(x+4)'}{(x+4)^{2}}\\\\=\dfrac{0-1}{(x+3)^{2}}-\dfrac{0-1}{(x+4)^{2}}=-\dfrac{1}{(x+3)^{2}}+\dfrac{1}{(x+4)^{2}}$

 La función es decreciente si su derivada es < 0:

$F'(x)=-\dfrac{1}{(x+3)^{2}}+\dfrac{1}{(x+4)^{2}}=-\dfrac{1}{x^{2}+3x+9}+\dfrac{1}{x^{2}+8x+16}\\\\=\dfrac{1}{x^{2}+8x+16}-\dfrac{1}{x^{2}+3x+9}=\dfrac{x^{2}+3x+9-x^{2}-8x-16}{(x+3)^{2}*(x+4)^{2}}\\\\=\dfrac{-5x-7}{(x+3)^{2}*(x+4)^{2}}=-\dfrac{5x+7}{(x+3)^{2}*(x+4)^{2}}$

F'(x) es < 0 para todo su dominio, incluyendo [0,+∞)

 Para demostrar la desigualdad conviene calcular primero la integral de en medio:

$\displaystyle\int_{0}^{1} F(x)\, dx=\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{1}{x+3}\, dx-\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{1}{x+4}\, dx$

Estas integrales se pueden resolver con sustituciones:

u=x+3 , du=dx

v=x+4 , dv=dx

$\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{1}{x+3}\, dx-\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{1}{x+4}\, dx=\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{du}{u} \, dx-\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{dv}{v} \, dx= {\left \ln(u) \right|}_{0}^{1}-{ \left \ln(v) \right|}_{0}^{1}={ \left \ln(x+3) \right|}_{0}^{1}-{ \left \ln(x+4) \right|}_{0}^{1}=\ln(1+3)-\ln(1+4)-(\ln(0+3)-\ln(0+4))=0,06$

Luego:

1/20 ≤ 0,06 ≤ 1/2

0,05 ≤ 0,06 ≤ 0,5