Sean a y b las soluciones de la ecuación x2 – 3x + A = 0, y sean c y d las soluciones de la ecuación
x2
– 12x + B = 0. Se sabe que a, b, c y d forman, en ese orden, una sucesión geométrica. Determina los
valores de A y B.
algún máster en matemáticas que me explique
Respuestas
Respuesta:
A = 2
B = 32
Explicación paso a paso:
se tiene que a y b son soluciones de la ecuación x² - 3x + A = 0 por lo tanto
x² - 3x + A = (x - a).(x - b)
= x² - x(a + b) + ab (1)
por otro lado se tiene que c y d son soluciones de x² - 12x + B = 0
x² - 12x + B = (x - c).(x - d)
= x² - x(c + d) + cd (2)
de las igualdades (1) y (2) se deduce que
a + b = 3 (3) y ab = A (4)
c + d = 12 (5) y cd = B (6)
se tiene también que a,b,c,d forman una sucesión geométrica, es decir que están relacionadas por la siguiente expresión
aₙ = a₁.r⁽ⁿ⁻¹⁾
donde aₙ es un termino arbitrario de la sucesión, a₁ es el primer elemento de la sucesión y r es la razón de la sucesión un factor constante entre los términos
entonces se tendría otra relación entre las soluciones
b = a-r (7)
c = a.r² (8)
d = a.r³ (9)
se va a reemplazar (7) en (3)
a + ar = 3
a.(1 + r) = 3
1 + r = 3/a (10)
ahora se va a reemplazar (8) y (9) en (5)
ar² + ar³ = 12
ar².(1 + r) = 12
1 + r = 12/ar² (11)
se igualan las expresiones (10) y (11)
3/a = 12/ar²
r² = 12/3
r² = 4
r = 2 razón de la sucesión
en consecuencia
b = 2a (12)
c = 4a (13)
d = 8a (14)
nuevamente se reemplaza (12) en (3)
a + 2a = 3
3a = 3
a = 1
siendo b,c y d funciones de a, entonces
b = 2
c = 4
d = 8
por ultimo
A = ab ⇒ A = 2
B = cd ⇒ B = 32