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Representación Geométrica de los Números Reales
Geométricamente podemos representar el conjunto de los números reales mediante los puntos de una recta horizontal que llamaremos la recta real o el eje real. Para ello,escogemos un punto de la recta para representar el número $0$ y otro punto a la derecha de este para representar al número $1$. La longitud del segmento determinado por los puntos marcados $0$ y $1$ se selecciona como unidad de distancia. Utilizando esta unidad de distancia representamos los números positivos a la derecha del $0$ y los números negativos a la izquierda del $0.$ El entero positivo $n$ se representa por el punto situado a una distancia de $n$ unidades a la derecha del $0$ y el entero negativo $-n$ se representa por el punto situado a una distancia de $n$ unidades a la izquierda del $0$, como se indica en la siguiente figura donde se representan los enteros entre $-5$ y $5$.
Para representar un número racional positivo $\dfrac{p}{q}$ dividimos la unidad de distancia, es decir , el segmento determinado por $0$ y $1$ en $q$ partes iguales y le asignamos, a la derecha de $0$, el punto determinado por $p$ de estas partes de longitud $\dfrac{1}{q}$. Para representar el número racional negativo $-\dfrac{p}{q}$, procedemos de forma similar, pero tomando $p$ partes de longitud $\dfrac{1}{q}$ a la izquierda de $0$. La gráfica siguiente nos muestra algunos de los puntos que representan números racionales
La siguiente construcción nos muestra como representar el número irracional $\sqrt{2}$ sobre la recta:
Concretamente, el punto que representa a $\sqrt{2}$ se obtiene trazando desde el punto marcado $1$ un segmento de recta de longitud igual a la unidad y perpendicular a la recta real. Se forma un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene longitud $\sqrt{2}$. Luego se traza un arco de círculo con centro en $0$ y radio $\sqrt{2}$, el punto de intersección de este arco con el eje real represente el número $\sqrt{2}$.
En general es imposible indicar de que forma se puede representar cualquier número irracional sobre la recta, pero aceptamos como un axioma que a cada número real le corresponde exactamente un punto sobre la recta y que recíprocamente, cada punto de la recta corresponde a exactamente un número real. Una correspondencia como esta se llama un sistema de coordenadas. El número correspondiente a un punto dado se llama la coordenada del punto. El punto que corresponde al número cero se llama el origen del sistema de coordenadas y usualmente lo representamos por O. Por ejemplo en la figura siguiente
la coordenada de $R$ es $-2$, la coordenada de $P$ es $1$, la coordenada de $T$ es $\pi$ etc.
En la práctica, se acostumbra a identificar un número real con el punto sobre la recta que lo representa y, a utilizar como sinónimas las expresiones " el punto $x$" y " el número $x$".
Para representar la distancia entre dos puntos de la recta, necesitamos calcular la diferencia entre la coordenada del punto que esta a la derecha y la coordenada del punto que esta a la izquierda. Si los puntos tienen coordenadas $x_{1}$ y $x_{2}$, entonces cuando $x_{1}
Definición 1.5.1. Si $x$ es un número real, su valor absoluto que notamos $\left| x\right|$, lo definimos
| x| =
Ejemplo 1.4.
$\left| 5\right| =5$, pues $5>0$
MATH, pues $-3<0$
MATH, pues $\pi -3>0$
MATH, pues $3-\pi <0$
$\left| 0\right| =0$
De acuerdo con nuestra observación anterior, si $x_{1}$ y $x_{2}$ son las coordenadas de dos puntos sobre una recta, la distancia entre ellos se define como MATH. En particular, MATH representa la distancia del origen al punto $x$.
La relación de orden entre números reales tiene una interpretación geométrica muy simple:
$x
La representación geométrica es de gran utilidad en la resolución de problemas y en la visualización de muchas propiedades importantes de los números reales.
Es útil introducir la noción de intervalo. Si $a$ y $b$ son números reales, definimos los siguientes subconjuntos de $\QTR{Bbb}{R}:$
MATH
MATH
MATH
MATH
Los conjuntos así definidos se llaman en su orden, intervalo abierto de extremos $a$ y $b$, intervalo cerrado de extremos $a$ y $b$, intervalo abierto-cerrado de extremos $a$ y $b$ e intervalo cerrado-abierto de extremos $a$ y $b$.
Geométricamente podemos representar estos intervalos sobre la recta real como se indica en las siguientes figuras:
Un paréntesis cuadrado en la figura indica que el extremo correspondiente pertenece al intervalo.
Se acostumbra a ampliar el concepto de intervalo para incluir los siguientes conjuntos, conocidos con el nombre de intervalos infinitos:
MATH
Dejamos al lector la representación geométrica de estos intervalos. El símbolo $\infty $ llamado infinito que aparece en la definición anterior, no es un número real, es tan solo un artificio de notación.
Geométricamente podemos representar el conjunto de los números reales mediante los puntos de una recta horizontal que llamaremos la recta real o el eje real. Para ello,escogemos un punto de la recta para representar el número $0$ y otro punto a la derecha de este para representar al número $1$. La longitud del segmento determinado por los puntos marcados $0$ y $1$ se selecciona como unidad de distancia. Utilizando esta unidad de distancia representamos los números positivos a la derecha del $0$ y los números negativos a la izquierda del $0.$ El entero positivo $n$ se representa por el punto situado a una distancia de $n$ unidades a la derecha del $0$ y el entero negativo $-n$ se representa por el punto situado a una distancia de $n$ unidades a la izquierda del $0$, como se indica en la siguiente figura donde se representan los enteros entre $-5$ y $5$.
Para representar un número racional positivo $\dfrac{p}{q}$ dividimos la unidad de distancia, es decir , el segmento determinado por $0$ y $1$ en $q$ partes iguales y le asignamos, a la derecha de $0$, el punto determinado por $p$ de estas partes de longitud $\dfrac{1}{q}$. Para representar el número racional negativo $-\dfrac{p}{q}$, procedemos de forma similar, pero tomando $p$ partes de longitud $\dfrac{1}{q}$ a la izquierda de $0$. La gráfica siguiente nos muestra algunos de los puntos que representan números racionales
La siguiente construcción nos muestra como representar el número irracional $\sqrt{2}$ sobre la recta:
Concretamente, el punto que representa a $\sqrt{2}$ se obtiene trazando desde el punto marcado $1$ un segmento de recta de longitud igual a la unidad y perpendicular a la recta real. Se forma un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene longitud $\sqrt{2}$. Luego se traza un arco de círculo con centro en $0$ y radio $\sqrt{2}$, el punto de intersección de este arco con el eje real represente el número $\sqrt{2}$.
En general es imposible indicar de que forma se puede representar cualquier número irracional sobre la recta, pero aceptamos como un axioma que a cada número real le corresponde exactamente un punto sobre la recta y que recíprocamente, cada punto de la recta corresponde a exactamente un número real. Una correspondencia como esta se llama un sistema de coordenadas. El número correspondiente a un punto dado se llama la coordenada del punto. El punto que corresponde al número cero se llama el origen del sistema de coordenadas y usualmente lo representamos por O. Por ejemplo en la figura siguiente
la coordenada de $R$ es $-2$, la coordenada de $P$ es $1$, la coordenada de $T$ es $\pi$ etc.
En la práctica, se acostumbra a identificar un número real con el punto sobre la recta que lo representa y, a utilizar como sinónimas las expresiones " el punto $x$" y " el número $x$".
Para representar la distancia entre dos puntos de la recta, necesitamos calcular la diferencia entre la coordenada del punto que esta a la derecha y la coordenada del punto que esta a la izquierda. Si los puntos tienen coordenadas $x_{1}$ y $x_{2}$, entonces cuando $x_{1}
Definición 1.5.1. Si $x$ es un número real, su valor absoluto que notamos $\left| x\right|$, lo definimos
| x| =
Ejemplo 1.4.
$\left| 5\right| =5$, pues $5>0$
MATH, pues $-3<0$
MATH, pues $\pi -3>0$
MATH, pues $3-\pi <0$
$\left| 0\right| =0$
De acuerdo con nuestra observación anterior, si $x_{1}$ y $x_{2}$ son las coordenadas de dos puntos sobre una recta, la distancia entre ellos se define como MATH. En particular, MATH representa la distancia del origen al punto $x$.
La relación de orden entre números reales tiene una interpretación geométrica muy simple:
$x
La representación geométrica es de gran utilidad en la resolución de problemas y en la visualización de muchas propiedades importantes de los números reales.
Es útil introducir la noción de intervalo. Si $a$ y $b$ son números reales, definimos los siguientes subconjuntos de $\QTR{Bbb}{R}:$
MATH
MATH
MATH
MATH
Los conjuntos así definidos se llaman en su orden, intervalo abierto de extremos $a$ y $b$, intervalo cerrado de extremos $a$ y $b$, intervalo abierto-cerrado de extremos $a$ y $b$ e intervalo cerrado-abierto de extremos $a$ y $b$.
Geométricamente podemos representar estos intervalos sobre la recta real como se indica en las siguientes figuras:
Un paréntesis cuadrado en la figura indica que el extremo correspondiente pertenece al intervalo.
Se acostumbra a ampliar el concepto de intervalo para incluir los siguientes conjuntos, conocidos con el nombre de intervalos infinitos:
MATH
Dejamos al lector la representación geométrica de estos intervalos. El símbolo $\infty $ llamado infinito que aparece en la definición anterior, no es un número real, es tan solo un artificio de notación.
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