Question

ayuda, necesito encontrar el modelo que me define el volumen y hallar las dimensiones de las cajas que produce el volumen máximo​

Answer 1

es una caja con base cuadrada de lado $x$ y una altura de lado $y$.

la suma de las 12 lados (perímetro) es de 144 pulgadas. como es un prisma rectangular entonces:

$P=4x+4y+4x\Rightarrow P=8x+4y=144$

el volumen de la caja es el área de la base por la altura que tiene.

$V=x^2y$

del perímetro igualamos a $y$.

$y=36-2x$

lo reemplazamos en el volumen, entonces:

$\mathrm{\large{Modelo\ que\ define \ al \ volumen \ de\ caja:}}\\ V(x)=x^2(36-2x)$

para hallar las dimensiones que producen el volumen máximo, tenemos que derivar.

$V'(x)=2x(36-2x)-2x^2\Rightarrow 2x(36-2x-x)\\ 2x(36-3x)\Rightarrow 2x\times 3(12-x)\\ V'(x)=6x(12-x)$

se iguala a cero para encontrar los puntos críticos.

$6x(12-x)=0$

como es un producto, entonces para que sea cero uno o los dos de los factores tiene que ser cero entonces.

$6x=0\Rightarrow x=0\\ 12-x=0\Rightarrow x=12$

ya encontrado los puntos críticos se deriva de nuevo para ver si estos puntos son máximos, mínimos o puntos de inflexión.

$V''(x)=6(12-x)-6x\\ \\ V''(x)=72-12x$

$\mathrm{\large{Reemplazando\ los\ puntos\ hallados:}}$

$x=0\Rightarrow V(0)=72 > 0 \Rightarrow \mathrm{mínimo}\\ x=12\Rightarrow V(12)=-72 < 0\Rightarrow\mathrm{máximo}$

para $x=12$ el volumen es máximo.

$\mathrm{\large{Hallar \ las \ dimensiones}}$

si $x=12\Rightarrow y=36-2(12)\Rightarrow y=12$

$\mathrm{Volumen:}12^2\times 12=1728$

$\mathrm{\large{Respuesta:}}$

para que el volumen sea el máximo las dimensiones de la caja son

$x=12\ \mathrm{pulgadas}\\ y=12\ \mathrm{pulgadas}$

Answer 2

Respuesta:

$hola$

El volumen de una caja es el espacio que es capaz de contener. Para llevar a cabo su medición, es necesario determinar las siguientes tres métricas

H (Altura): Se entiende como alto, la dimensión vertical de la caja.

L (Longitud): De las dos dimensiones restantes, la mas larga es el largo de la caja.

B (Anchura): De las dos dimensiones restantes la mas corta es el ancho de la caja.

Una vez tengamos calculadas estas tres medidas, procedemos a realizar la siguiente cuenta matemática:

LARGO X ANCHO X ALTO

El resultado de este cálculo nos ofrece el volumen de una caja. Pero hay otro factor a tener en cuenta: no todos los tipos de cartón ondulado son iguales y, tal y como ya hemos visto en otras ocasiones, el grosor del cartón puede ser muy variable en función de la longitud de onda y la calidad de los papeles. Esto tiene consecuencias a la hora de calcular el volumen de una caja, ya que si el cartón es muy grueso, las medidas exteriores de esa caja no serán las mismas que sus medidas interiores.

¿Para qué sirve cada una de estas medidas? Las medidas exteriores te sirven para calcular el coste de envío (las empresas de mensajería calculan el volumen exterior, que es el que más abulta; además no tienen acceso al interior de las cajas) y también para conocer el volumen de almacenaje de esa caja si la tienes montada. Las medidas interiores, por su parte, te permiten conocer el espacio interior útil de esa caja.

Cálculo del volumen en cm3 y litros

Como hemos comentado, el volumen de una caja es el resultado de multiplicar su alto, largo y ancho. Sin embargo, cabe destacar que para obtener el resultado en centímetros cúbicos, que es la medida más usada a la hora de calcular volúmenes, hay que medir estos tres parámetros en centímetros.

Veamos un ejemplo práctico con las medidas reales de una de nuestras cajas, concretamente la caja de cartón con solapas fabricada en cartón ondulado de una onda con medidas de 60 cm de largo, y 40 cm de ancho y alto:

60 x 40 x 40 = 96.000 cm3

En segundo lugar, cabe destacar que otra medida muy utilizada, además de los centímetros cúbicos, son los litros. Para calcular el volumen en litros es necesario hacer el mismo cálculo y dividir el resultado entre 1.000.000 o 1.000 si se han medido los parámetros en milímetros o centímetros respectivamente, o bien se multiplicará por 1.000 si se midieron en metros.

A continuación vamos a calcular el volumen en litros de la caja del ejemplo anterior:

Medidas en mm: 600 x 400 x 400 = 96.000.000 / 1.000.000 = 96L

Medidas en cm: 60 x 40 x 40 = 96.000 / 1.000 = 96L

Medidas en metros: 0.6 x 0.4 x 0.4 = 0.096 x 1.000 = 96L

Explicación paso a paso:

:)