Question

✨Hola. ¿Sera que alguien me podría ayudar con este problema de logaritmo por favor? :"c ❤

Answer 1

Respuesta:

(1/2;1)

Explicación paso a paso:

sistema de ecuaciones exponenciales

3^(2x) . 9^y = 27

5^x . √5 = (1/5)^(-y)

la primera ecuación sera llevada a una expresión lineal

3^(2x) . 9^y = 27               como 9 = 3² se tiene

3^(2x) . 3^(2y) = 27           las bases del primer miembro son iguales por lo

                                         que

3^(2x + 2y) = 27             saco factor común 2

3^2.(x + y) = 27              el primer miembro ahora es potencia de potencia

(3^(x + y))^2 = 27            se toma raíz cuadrada de ambos miembros

√((3^(x + y))^2) = √27

3^(x + y) = √27  

3^(x + y) = √(3^3)

3^(x + y) = 3^(3/2)      se toma logaritmo en los dos miembros

ln(3^(x + y)) = ln(3^(3/2))   por propiedad de logaritmo se tiene

(x + y ).ln3 = (3/2).ln3     los ln3 se simplifican y quedaría

x + y = 3/2  (1)

segunda ecuación

5^x . √5 = (1/5)^(-y)

5^x . 5^(1/2) = 5^y  

5^(x + (1/2)) = 5^y

5^((2x + 1)/2) = 5^y    se eleva al cuadrado ambos miembros

(5^((2x + 1)/2))^2 = (5^y)^2

5^(2x + 1) = 5^2y  

5^(2x + 1)/5^2y = 1

5^(2x + 1).5^(-2y) = 1

5^(2x + 1 - 2y) = 1     nuevamente se toma logaritmo

ln(5^(2x + 1 - 2y)) = ln 1

(2x + 1 - 2y).ln5 = 0

2x + 1 - 2y = 0

2x - 2y = -1

x - y = -1/2     (2)

ahora con las ecuaciones (1) y (2) se va a formar un nuevo sistema

x + y = 3/2

x - y = -1/2

si se suman ambas ecuaciones se determinara el valor x

x + y = 3/2

x - y = -1/2

------------------

2x + 0 = 3/2 - 1/2

2x = 1      ⇒                x = 1/2

reemplazando el valor de x en (1) o (2)  se tiene el valor de y

x + y = 3/2

y = 3/2 - x

y = 3/2 - 1/2

y = 1

se obtuvo el par ordenado     (x;y) = (1/2;1) como solución del sistema equivalente

verificación

3^(2.(1/2)) . 9^1 = 27

3^1 . 9 = 27

3.9 = 27

27 = 27

5^(1/2) . √5 = (1/5)^(-1)

√5.√5 = 5

(√5)² = 5

5 = 5

el par ordenado satisface el sistema, por lo tanto es una solución del mismo