La población P de una colonia de bacterias con espacio y alimentos ilimitados, varia con el tiempo de acuerdo a la expresión: P(t)= C. e K.t con C y K constante, t en horas y K en 1/hora.
Determinar
a) Si en el instante inicial t=o la población era de 1000 bacterias y al cabo de 1 hora la misma se duplico, determina los valores de C y K.
b) Bosqueja el grafico de la función P, halla la velocidad v de crecimiento de la población en función de t y determina el instante de mínima velocidad.
c) Calcula la población al cabo de 2 horas y la velocidad de crecimiento en ese instante.
d) Demuestra que el modelo matemático adoptado para el estudio del problema consistió en suponer que la velocidad de crecimiento de la población en un instante fue proporcional al número de bacterias en ese instante.
Respuestas
Sabemos que P(t) = C . e^(k t)
a) Para t = 0, P(0) = 1000 = C . e^0 = C
La población inicial es 1000 bacterias.
Cuanto t = 1 h, P(1) = 2000 = 1000 . e^(k . 1)
Queda e^k = 2; aplicamos logaritmos naturales: k = Ln(2)
b) P(t) = 1000 . e^[t Ln(2)]
Adjunto dibujo en escalas adecuadas.
La velocidad de crecimiento es la derivada de la población respecto del tiempo:
V(t) = dP/dt = 1000 Ln(2) . e^[t Ln(2)]
Siendo una función estrictamente creciente, la velocidad mínima corresponde con t = 0
V = 1000 . Ln(2) bacterias/hora = 693 bac/hora
c) t = 2 horas
P(2) = 1000 . e^[2 Ln(2)] = 1000 . 4 = 4000 bacterias.
V(2) = 1000 Ln(2) . 4 = 2773 bac/hora
d) Está demostrado al hallar la velocidad de crecimiento.
V(t) = 1000 . Ln(2) . e^[t Ln(2)]
Si duplicamos la cantidad inicial de bacterias, tanto la población y la velocidad de suplican.
Mateo
