Question

Situación problema: Si observamos cierta cantidad inicial de sustancia o material radiactivo, al paso del tiempo se puede verificar un cambio en la cantidad de dicho material; esto quiere decir que un material radioactivo se desintegra inversamente proporcional a la cantidad presente.
Si desde un principio hay 50 Miligramos (mm) de un material radioactivo presente y pasadas dos horas se detalla que este material ha disminuido el 10% de su masa original , se solicita hallar:
a. Una fórmula para la masa del material radioactivo en cualquier momento t.
b. La masa después de 5 horas.

Answer 1

La desintegración del material radiactivo nos deja los siguientes resultados:

• La ecuación de desintegración es N(t) = 50·e^(-0.052t).
• Luego de 5 horas quedan 38.55 mg.

EXPLICACIÓN:

La ecuación para la desintegración de un material radiactivo viene dado como:

N(t) = N₀·e^(-k·t)

Ahora, sabemos que inicialmente hay una cantidad de 50 mg, y ademas que en 2 horas se redujo en un 10 %, entonces:

m(2h) = 0.90·(50 mg)

m(2h) = 45 mg  → masa en 2 horas

a) Entonces, en 2 horas quedaban 45 mg, con esto buscando la constante 'k' de nuestra ecuación, tenemos:

N = (50 mg)· e^(-k·t)

45 mg = (50 mg)· e^(-k·2h)

0.90 = e^(-k·2h)

ln(0.90) = -k·(2h)

k = 0.052

Por tanto, nuestra ecuación de descomposición radiactiva será:

N(t) = 50·e^(-0.052t) → Ecuación de desintegración

b) Busquemos la masa luego de 5 horas.

N(5) = 50·e^(-0.052· 5h)

N(5) = 38.55 mg

Entonces, luego de 5 horas quedan 38.55 mg.

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Answer 2

Respuesta:

Explicación paso a paso:

Solución planteada:  

a. Sea   x(t); miligramos de material radiactivo en el instante inicial t      

La ecuación corresponde a: dy/dx=+kx(t)

Transponiendo términos se tiene;  dy/(x(t))=+kdt

Aplicando propiedades algebraicas tenemos:  ∫dx/(x(t))= ∫kdx

Resolviendo las integrales se obtiene:  

In (x(t))=-kdt-c.                    

Aplicando propiedades especiales de las integrales contemplamos que                       x(t)=-ce^(-kt)

Por tanto, ésta es la fórmula para la masa de un material radiactivo en algunos momentos t  

Cuando t=0; se tiene:  

x(0)=50 ; Por ende,  

 50=c  

Ahora bien, cuando t=2  Se tiene  

x(0)=40; debido a que corresponde al porcentaje que se disminuyó pasadas dos horas en un 10%. Por lo que la expresión matemática en este caso correspondería así:  40=ce^(-2k)   45=40^e2k

Aplicando propiedades trigonométricas obtenemos:

-2k=In |45/40|

k=in|45/40|/(-2)

Por lo que el valor de la constante c, corresponde a:   k=0,0526803

Es por ello, que ésta es la fórmula para la masa de un material radiactivo en cualquier momento t en este caso de aplicación.   x(t)=45e-0,0526803t  

Ahora bien, para hallar la masa después de 5 horas es:   x(5)=45e-0,0526803(-5)  

Observación: Debo multiplicarlo por -5, para que la expresión elevada a la e me quede de forma positiva y pueda resolver la  situación.  

Por lo tanto, la masa después de 5 horas corresponde a: x(5)=40,5 mm