Question

Dar solución a las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de variables separables

Answer 1

Respuesta:

$3e^{x}*\tan(y)dx+(2-e^{x})*\sec^{2}(y)dy=0\\3e^{x}*\tan(y)dx=-(2-e^{x})*\sec^{2}(y)dy$

Multiplicar por -(2-e^x) y por tan(y) a lado y lado:

$\dfrac{3e^{x}}{-(2-e^{x})}dx=\dfrac{\sec^{2}(y)}{\tan(y)}dy\\\dfrac{3e^{x}}{e^{x}-2}dx=\dfrac{\sec^{2}(y)}{\tan(y)}dy\\\dfrac{\sec^{2}(y)}{\tan(y)}dy=\dfrac{3e^{x}}{e^{x}-2}dx$

Ya están separadas las variables, ahora se procede a integrar:

$\int \dfrac{\sec^{2}(y)}{\tan(y)}dy} =\int \dfrac{3e^{x}}{e^{x}-2}dx$

Usar las sustituciones:

$u=\tan(y)\\du=\sec^{2}(y)dy\\\\v=e^{x}-2\\dv=e^{x}dx$

$\int \frac{du}{u}=3 \int \frac{dv}{v}\\ \ln|u|=3*\ln|v|+C\\\ln(\tan(y))=3*\ln(e^{x}-2)+C\\e^{\ln(\tan(y))}= e^{3*\ln(e^{x}-2)+C}$