Considere el punto A(-2,4) y la recta L: -3x+4y=12
A) Halle la ecuación de la recta perpendicular a L que contiene al punto A.
b) Halle el punto intersección entre L y la recta vertical que contiene al punto A.
c) Halle el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos de corte de L con los ejes coordenados.
Respuestas
Respuesta:
A) L₂ : y = (-4/3)x + 4/3
L₂ : 4x + 3y - 4 = 0
B) coordenadas del punto de intersección Q(-4/5;12/5)
C) coordenadas del punto medio PM = (-2 ; 3/2)
Explicación paso a paso:
A) ecuación general de la recta L₁ : -3x +4y -12 = 0
forma explicita de la recta L₁
4y = 3x + 12
L₁ : y = (3/4)x + 3
ecuación de la recta perpendicular L₂ que contiene el punto A
y - y₁ = m₂.(x - x₁) donde A = (x₁;y₁) = (-2;4)
y - 4 = m₂.(x - (-2))
y - 4 = m₂.(x +2)
como las rectas L₁ y L₂ son perpendiculares se cumple la siguiente relación entre sus pendientes
m₂ = -1/m₁ donde m₁ es la pendiente de L₁, como m₁ = 3/4 se obtiene que
m₂ = -1/(3/4) m₂ = -4/3 ahora se regresa a la ecuación de L₂ y se establece el valor de m₂
y - 4 = (-4/3).(x + 2)
y - 4 = (-4/3)x - 8/3
y = (-4/3)x + 4/3 ecuación explicita de la recta L₂
si se multiplica ambos miembros por 3 y luego se iguala a cero se obtiene la ecuación general de la recta L₂
3y = -4x + 4
4x + 3y - 4 = 0
B)
como las rectas son perpendiculares una respecto a la otra se tendrá una única solución para el sistema de ecuaciones formados por las ecuaciones generales de L₁ y L₂, dicha solución representa las coordenadas del punto de intersección de las rectas que se lo va denominar Q = (X;Y)
-3x + 4y - 12 = 0
4x + 3y - 4 = 0
resolviendo el sistema por el método de igualación
(3/4)X + 3= (-4/3)X + 4/3
X(3/4 + 4/3) = 4/3 - 3
(25/12)X = -5/3
X = -(5/3).(12/25)
X = -4/5
reemplazando en cualquier ecuación se obtendrá Y
Y = (3/4)X + 3
Y = (3/4).(-4/5) + 3
Y = -3/5 + 3
Y = 12/5
coordenadas del punto de intersección Q(-4/5;12/5)
C)
para conocer el punto de intersección de L₁ con el eje de ordenadas se debe de dar a x el valor de cero, es decir
y = (3/4).0 + 3
y = 3
el punto de intersección R de la recta y el eje Y es R = (0;3)
ahora para determinar N el punto de intersección de la recta con el eje de abscisas se tiene que dar el valor de cero a y
0 = (3/4)x + 3
-3 = (3/4)x
-3.(4/3) = x
-4 = x
coordenadas N = (-4;0)
por ultimo, las coordenadas del punto medio de un segmento estan dadas por
PM =( ( x₁ + x₂)/2 ; (y₁ + y₂)/2 ) donde los pares (x₁;y₁) (x₂;y₂) son las coordenadas de los extremos del segmento
en nuestro caso el par (x₁;y₁) = (0;3) y (x₂;y₂) = (-4;0) entonces
PM = (( 0 + (-4))/2 ; (3 + 0)/2)
PM = (-2 ; 3/2)