Una partícula de 250gr vibra con una amplitud de 20cm y una energía mecánica de 15j calcula:
A. La constante del muelle, el periodo y la frecuencia
B. La energía cinética de la partícula y su velocidad cuando se encuentra a 8cm q la posición de equilibrio.
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Respuestas
Respuesta:
La constante es de 750N/m, la frecuencia 8,72Hz y el periodo de 0,11 seg
La Velocidad es de 10,04 m/seg
Explicación paso a paso:
m = 250 gr = 0,25 kg
A = 20cm = 0,2 m
E = 15 joules
A. La constante del muelle, el periodo y la frecuencia
Constante:
E = 0,5K*A²
K = E/0,5A²
K = 15 joules/0,5(0,2m)²
K = 750N/m
Aceleración angular:
k = m*ω²
ω =√k/m
ω = √750N/m/0,25kg
ω= 54,77rad/seg
Frecuencia:
ω =2πf
f = ω/2π
f = 54,77rad/seg/6,2832
f = 8,72Hz
Periodo:
T = 1/f
T = 1/8,72Hz
T = 0,11 seg
B. La energía cinética de la partícula y su velocidad cuando se encuentra a 8cm q la posición de equilibrio.
y = 8 cm = 0,08 m
Energía Potencial:
Ep = 1/2ky²
Ep = 1/2*750N/m(0,08m)²
Ep = 2,40 joules
Energía Cinética:
Ec = Em-Ep
Ec = 15 joules -2,4 joules
Ec = 12,6 joules
Velocidad:
Ec = 1/2mV²
2Ec/m = V²
V = √2Ec/m
V = √2*12,6 joules/0,25 kg
V = 10,04 m/seg
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El muelle tiene una constante de elasticidad de 750 N/m, mientras que la partícula oscila con una frecuencia de 8.72 Hz.
En principio se deben llevar los datos a unidades del Sistema Internacional:
m = 250 g = 0.25 kg
Ec = 15 J
A = 20 cm = 0.2 m
Con la amplitud y la energía cinética determinamos la constante de elasticidad:
Ec = (1/2)*K*A^2
15 = (1/2)*K*0.2^2
K = 750 N/m
Ahora determinamos la frecuencia angular de:
ω = √(K/m)
ω = √(750/0.25) = 54.8 rad/s
La frecuencia y la frecuencia angular están relacionadas:
f = ω/(2π)
f = 54.8/(2π) = 8.72 Hz
El período es la inversa de la frecuencia:
T = 1/f
T = 1/8.72 = 0.115 s
- Energía y velocidad:
La posición de la partícula viene dada por:
x(t) = 0.2*sen(54.8*t)
Sabemos que está a 8 cm de la posición de equilibrio, con eso determinamos el tiempo:
0.08 = 0.2*sen(54.8*t)
t₁ = 0.008 s, t₂ = 0.05 s
Sustituimos estos valores en la ecuación de velocidad:
v(t) = ωA*cos(ωt)
v(0.008) = 54.8*0.2*cos(54.8*0.008) = 10 m/s
v(0.05) = 54.8*0.2*cos(54.8*0.05) = -10 m/s
La energía cinética vale entonces:
Ec = (1/2)*0.25*10^2 = 12.5 J
¿Cómo es el movimiento armónico simple?
El cuerpo su posición en el tiempo con una amplitud A y con una frecuencia angular ω según la ecuación:
x(t) = A*cos(ωt+Φ)
Más sobre el movimiento armónico:
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