Question

Se requiere fabricar una lata de conservas cilíndrica (con tapa) de 800 centímetros cúbicos de volumen. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo de metal posible? (No olvides plantear la función a optimizar, la del área del material, así como su gráfica.).

Answer 1

Con tapa el cilindro tiene dos bases. Sea r el radio de la base y h la altura

El área total es S = 2 π r² + 2 π r h

El volumen es V = π r² h = 800

Podemos hallar h en función de r: h = 800 / (π r²)

Reemplazamos en S

S = 2 π r² + 2 π r . 800 / (π r²)

S = 2 π r² + 1600 / r

S es la función a optimizar.

Ha quedado S como una función del radio de la lata

Una función en mínima en los puntos en que su primera derivada es nula y la segunda es positiva.

Derivamos respecto de r:

S' = 4 π r - 1600 / r²

S'' = 4 π + 3200 / r³ (positiva, hay mínimo en S' = 0

4 π r - 1600 / r² = 0

r³ = 400 / π ≅ 127 cm³

Luego r = 5,03 cm.

Hallamos superficie mínima.

S =2 π . 5,03² + 1600 / 5,03 ≅ 477 cm²

Hallamos h: h = 800 / (π . 5,03²) ≅ 10 cm

Verificamos volumen:

V = π . 5,03² . 10 = 794 ≅ 800 cm³

Adjunto gráfico S función de r. Se destaca el punto (5,03; 477)

Mateo