Question

Hallar la distancia de la recta 4x − 4y + 10 = 0 al punto P(2, −3)

Answer 1

$\mathrm{\large{Solución \ sin \ formula:}}$

calcular la recta perpendicular a la recta Dada, que pasa por $P(2;-3)$

$\displaystyle{L_1:4x-4y+10=0\Rightarrow}\\ \displaystyle{\mathrm{Recta\ perpendicular:}L_2:4x+4y+C'=0}$

Reemplazando el punto en la recta:

$\displaystyle{4(2)+4(-3)+C'=0\Rightarrow C'=12-8=4}$

$\displaystyle{\mathrm{Recta\ perpendicular:}L_2:4x+4y+4=0}$

plantear interacción entre las dos rectas:

$\begin{cases}4x-4y+10=0\\4x+4y+4=0\end{cases}$

sumando las dos ecuaciones queda:

$\displaystyle{8x+14=0\Rightarrow x=-\frac{7}{4}}$

Reemplazando en cualquier ecuación pará hallar "y":

$\displaystyle{y=\frac{-4\left(-\frac{7}{4}\right)-4}{4}=\frac{7-4}{4}=\frac{3}{4}}$

$\displaystyle{Q\left(-\frac{7}{4};\frac{3}{4}\right)\in L_1,L_2}$

$\mathrm{\large{Distancia \ entre \ P\ y \ Q}}$

$\displaystyle{D=\sqrt{(x-x_o)^2+(y-y_o)^2}}$

$\displaystyle{D=\sqrt{\left(2-\left(-\frac{4}{7}\right)\right)^2+\left(-3-\frac{3}{4}\right)^2}=\frac{15}{\sqrt{8}}≈5,03}$

$\mathrm{\large{Utilizando \ la \ fórmula:}}$

$\displaystyle{\frac{|Ax+Bx+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}}$

pones la recta que te dan y Reemplazas el punto.

$\displaystyle{\frac{|4(2)-4(-3)+10|}{\sqrt{4^2+4^2}}=\frac{30}{4\sqrt{2}}=\frac{15}{2\sqrt{2}}≈5,03}$