Question

3x-2y-7z=0
x-2y+3z=4
x-y-z=1

Answer 1

El sistema es compatible determinado. La solución es:

$x=-2+5z\\y=-3+4z$

Siendo z la variable independiente.

Para resolverlo podemos aplicar la reducción Gaussiana:

- Escribimos la matriz ampliada del sistema:

$\left[\begin{array}{cccc}3&-2&-7&0\\1&-2&3&4\\1&-1&-1&1\end{array}\right]$

- Aplicamos operaciones elementales por filas. Empezamos cambiando la fila 1 (f1) por la fila 2 (f2):

$\left[\begin{array}{cccc}1&-2&3&4\\3&-2&-7&0\\1&-1&-1&1\end{array}\right]$

- Multiplicamos f1 por -3 y el resultado lo sumamos algebraicamente con f2, modificando f2:

$\left[\begin{array}{cccc}1&-2&3&4\\0&4&-16&-12\\1&-1&-1&1\end{array}\right]$

- Multiplicamos f1 por -1 y el resultado lo sumamos a f3,modificando f3:

$\left[\begin{array}{cccc}1&-2&3&4\\0&4&-16&-12\\0&1&-4&-3\end{array}\right]$

- Intercambiamos f2 con f3:

$\left[\begin{array}{cccc}1&-2&3&4\\0&1&-4&-3\\0&4&-16&-12\end{array}\right]$

- Multiplicamos -4 por f2 y la sumamos a f3, modificando f3:

$\left[\begin{array}{cccc}1&-2&3&4\\0&1&-4&-3\\0&0&0&0\end{array}\right]$

Se ha eliminado la tercera fila, por lo tanto el sistema es indeterminado.

Nos quedan solo dos ecuaciones, y la matriz resultante es 2x3 (2 filas y 3 columnas)

- Multiplicamos 2 por f2 y la sumamos a f1, modificando f1:

$\left[\begin{array}{cccc}1&0&-5&-2\\0&1&-4&-3\end{array}\right]$

- Ahora volvemos a escribir la matriz en forma de sistema de ecuaciones,y nos queda:

$x-5z=-2\\y-4z=-3$

- Aplicando transposición de términos, nos quedan las variables en función de z:

$x=-2+5z\\y=-3+4z$

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