Question

Alguien me podría explicar porque estos límites son así? ​

Answer 1

Hola.

Para el primer límite:

En primer lugar, cuando a una función inversa (en este caso tienes a $1/x$ ) le evalúas con $x=0$ , matemáticamente sería imposible obtener su resultado.

Pero si evalúas su límite para $x\rightarrow 0^{+}$ (x tiende a 0 positivo, pero no es 0), el resultado sería infinito ($\infty$)

Explicación: Intenta evaluar con un número pequeño positivo cercano a 0, por ejemplo: 0,001  →  $1/0,001=1000$

Ahora con un número más pequeño, por tanto, más cercano a 0, por ejemplo: 0,0000001  →   $1/0,0000001=100000000$

Si conforme te acercas más a 0, el resultado va a salir más grande y mucho más grande, hasta que sea prácticamente infinito

Entonces el límite sería:

$\lim_{x \to 0^{+}} ~\frac{1}{1+e^{\frac{1}{x}} } =\frac{1}{1+e^{\frac{1}{0}}}=\frac{1}{1+e^{\infty} }=\frac{1}{1+\infty }=\frac{1}{\infty} =0$

$e^{\infty}=\infty$ ya que un numero elevado al infinito, va a seguir siendo infinito

$\frac{1}{\infty} =0$  ya que cuando a 1 lo divides entre un número muy grande, va a resultar prácticamente 0

Para el segundo límite:

Ahora cuando se evalúa con $x\to0^{-}$ (x tiende a 0, pero esta vez desde los negativos), el resultado sería infinito negativo o menos infinito ($-\infty$)

Explicación: Similar al caso anterior pero con signo negativo

Entonces el límite sería:

$\lim_{x \to 0^{-}} ~\frac{1}{1+e^{\frac{1}{x}} } =\frac{1}{1+e^{\frac{1}{-0}}}=\frac{1}{1+e^{-\infty} }=\frac{1}{1+0 }=1$

$e^{-\infty}=0$ ya que al tener un exponente negativo, por teoría de exponentes lo podemos acomodar así:  $e^{-\infty}=\frac{1}{e^{\infty}}$

Y como expuse anteriormente, si a 1 lo dividimos entre un numero muy grande, va a resultar prácticamente 0

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Y eso es todo. Espero que te haya ayudado

Answer 2

$\mathrm{\large{Primer \ límite:}}$

$\displaystyle{\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{1+e^{\frac{1}{x}}}}$

por propiedad de límites

$\displaystyle{\frac{\lim_{x\to 0^+}1}{\lim_{x\to 0^+}1+e^{\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}}}}$

$\displaystyle{\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty}$

porque cuando divides a un número por un número que se acerca a 0 el resultado va hacer un número grande.

$\mathrm{\large{Ejemplo:}}\frac{1}{0,00000001}=100000000$

$e^{+\infty} =+\infty$

$\displaystyle{\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{\infty}=0}$

porque cuando divides a un número por un número muy grande el resultado se acerca a cero.

$\mathrm{\large{Ejemplo:}}\frac{1}{200000000}=0,00000002$

entonce: $\displaystyle{\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{1+e^{\frac{1}{x}}}=0}$

$\mathrm{\large{evaluando\ el \ otro \ límite}}$

$\displaystyle{\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{1+e^{\frac{1}{x}}}}$

acá se aplica las mismas propiedades ( lo salto)

$\displaystyle{\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty}$

es $-\infty$ porque cuando el número se acerca por izquierda a cero entonces es un número "negativo", entonces cuando divides a un número por un número muy chico negativo te da un número muy grande negativo.

$\mathrm{\large{Ejemplo:}}\frac{1}{-0,00002}=-200000$

ahora lo importante $e^{-\infty}$

por propiedad de los exponentes $\displaystyle{a^{-b}=\left(\frac{1}{a}\right)^b=\frac{1}{a^b}}$

entonces: $\displaystyle{e^{-\infty}=\frac{1}{e^{\infty}}=0}$

entonces: $\displaystyle{\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{1+e^{\frac{1}{x}}}=\frac{1}{1+0}=1}$