Question

Buenos días, podrian ayudarme con la solucion de este ejercicio

1) Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función f(x)=Cos(x) en el intervalo [-π/4, 0], en donde use una partición de n=6.

Siga los siguientes pasos:
.Graficar la función f(x) en Geogebra.
.Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los seis (6) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva f(x).

2. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función f(x)=Cos(x) en el intervalo [-π/4, 0], en donde use una partición de n=12

Siga los siguientes pasos:
.Graficar la función f(x) en Geogebra.
.Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los doce (12) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva f(x).


3) Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n= 6 y n=12.

Answer 1

La suma de Riemann nos da como resultado un área de 0.77 u² cuando n=6 y 0.98 u² cuando n=12

Explicación paso a paso:

El valor del área bajo la curva mediante la suma de Riemann viene dada por la siguiente expresión:

$\int\limits^a_b {f(x)} \, dx=\lim_{n \to \infty} \sum\limits^n_{k=1}f(a+k\Delta x)* \Delta x$

Para este caso a =$- \frac{\pi}{4}$   y b= $0$

$f(x) = Cos(x)$

y sabemos que:

$\Delta x = b-a/n$

en éste caso, entonces:

• Δx= π/4n

ahora sustituimos en la expresión de Riemann y nos queda:

$\int\limits{\frac{-\pi}{4}_{0} {Cos(x)} \, dx=\lim_{n \to \infty} \sum\limits^n_{k=1} Cos(\frac{-\pi}{4}+ \frac{k\Delta x}{n}) * \Delta x$

Ahora que tenemos la función decimos:

$\int\limits{\frac{-\pi}{4}_{0} {Cos(x)} dx=\lim_{n \to \infty} \sum\limits^n_{k=1} Cos(\frac{\pi}{4}+ \frac{k\frac{\pi}{4n}}{n}) * \frac{\pi}{4n}$

Agrupando términos y resolviendo la sumatoria nos queda qué:

• Para n=6

$\int\limits{\frac{-\pi}{4}_{0} {Cos(x)} dx=\lim_{n \to \infty}\sum\limits^n_{k=1}Cos(\frac{\pi}{4}+\frac{k\frac{\pi}{4n}}{n})*\frac{\pi}{4n} =0.77 u^2$

• Para n=12

$\int\limits{\frac{-\pi}{4}_{0} {Cos(x)} dx=\lim_{n \to \infty}\sum\limits^n_{k=1}Cos(\frac{\pi}{4}+\frac{k\frac{\pi}{4n}}{n})*\frac{\pi}{4n} =0.98 u^2$

Adjunto gráfico:

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