Respuestas
En un instante t la distancia entre partícula y el auto es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos x e y (posición horizontal y vertical)
Para el auto: x = 1/2 . 5 m/s² t²
Para la partícula: y = 50 m - 1/2 . 10 m/s² t²
Si la distancia es mínima, su cuadrado también lo será.
Una función es mínima (o máxima) cuando su primera derivada es nula.
Sea d esta distancia (simplifico y omito unidades)
d² = (2,5 t²)² + (50 - 5 t²)²; quito paréntesis:
d² = 6,25 t⁴ + 2500 - 500 t² + 25 t⁴ = 31,25 t⁴ - 500 t² + 2500
Derivamos bajo la forma implícita:
2 d d' = 125 t³ - 1000 t; igualamos a cero:
125 t³ - 1000 t = 0; o bien t³ - 8 t = 0
Descartamos t = 0 (instante inicial); queda t = √8 ≅ 2,83 s
Reemplazamos en d:
d² = 31,25 (√8)⁴ - 500 (√8)² + 2500 =
d² = 2000 - 4000 + 2500 = 500 m²
Finalmente d = √500 ≅ 22,36 m
Se adjunta gráfico a escala donde se aprecia el valor mínimo.
Saludos Herminio
