Question

Por favor alguien que pueda ayudar con esto de cálculo vectorial .
1) si A=(3i +2j ) B=(3i-2j) C=(5i-4j) determinar los escalares de H y K tales que
C=HA+kB

2) A=Ki-2j B=Ki +6j donde k es un escalar obtenga el valor de k tal que A y B sean ortogonales.

Answer 1

PREGUNTA

1) si A=(3i +2j ) B=(3i-2j) C=(5i-4j) determinar los escalares de H y K tales que  C=HA+KB

2) A=Ki-2j B=Ki +6j donde k es un escalar obtenga el valor de K tal que A y B sean ortogonales.

SOLUCIÓN

Hola!! :D

1) Crearemos un sistema de ecuaciones para determinar H y K, expresaremos los vectores en pares ordenados

                         A = (3,2), B = (3,-2) y C = (5,-4)

Entonces

                             $C = HA + KB\\\\(5,-4)=H(3,2)+K(3,-2)\\\\(5,-4)=(3H+3K, 2H-2K)\\\\\\*3H+3K=5 \Rightarrow H+K=\frac{5}{3} \\\\* 2H-2K=-4 \Rightarrow H-K = -2\\\\\mathrm{Sumamos\: las\: 2\: ecuaciones}\\\\2H = \frac{5}{3} - 2 \\ \\\boxed{\boldsymbol{H = \frac{-1}{6}}}\\\\\\Reemplazamos \: H\\\\H -K=-2\\\\(\dfrac{-1}{6})-K = -2\\\\\boxed{\boldsymbol{K = \frac{11}{6}}}$

2) Expresaremos los vectores en pares ordenados A = (K,-2) y B = (K,6) como son ortogonales se cumple que su producto punto es 0, entonces

                             $\overrightarrow{A} \cdot\overrightarrow{B}=0\\\\(K,-2)\cdot(K,6)=0\\\\K^2- 12=0\\\\K^2 = 12\\\\\boxed{\boldsymbol{K = \pm \sqrt{12}}}$

Answer 2

Al aplicar operaciones básicas de suma de vectores, producto de un vector por un escalar y producto escalar de vectores; así como solución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones, se concluye que:

1.  H  =  - 1/6  y  k  =  11/6  son escalares tales que   C  =  H A  +  k B.
2.  Los vectores  A  y  B  son ortogonales si la constante  K  =  ± 2 √3.

¿Cómo se multiplica un escalar por un vector?

El producto de un escalar por un vector se realiza aplicando la propiedad distributiva al escalar sobre el vector.

H A  =  H (3i  +  2j)  =  3Hi  +  2Hj

k B  =  k (3i  -  2j)  =  3ki  -  2kj

¿Cómo se suman vectores?

La suma de vectores es una operación que solo es posible si los vectores tienen el mismo número de componentes, y se realiza sumando las componentes ordenadas de los vectores sumandos. El vector suma es un vector de la misma dimensión que los vectores sumandos.

H A  +  k B  =  (3Hi  +  2Hj)  +  (3ki  -  2kj)  =  (3H  +  3k)i  +  (2H  -  2k)j

¿Podemos resolver con un sistema de ecuaciones lineales?

El vector suma es igual al vector C, por tanto, las componentes de ambos vectores son iguales y, por ende, nos permiten construir un sistema de ecuaciones lineales que nos lleven a los valores de H y k.

C  =  H A  +  k B          ⇒

(3H  +  3k)i  +  (2H  -  2k)j  =  (5i  -  4j)

El sistema de ecuaciones es:

3H  +  3k  =  5

2H  -  2k  =  -4

Resolvemos por el método de reducción, muiltiplicando la primera ecuación por  2  y la segunda por  3.

6H  +  6k  =  10

6H  -  6H  =  -12

12H  =  -2          ⇒          H  =  - 1/6

Sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones

2(-1/6)  -  2k  =  -4          ⇒         k  =  11/6

1)  H  =  - 1/6  y  k  =  11/6  son escalares tales que   C  =  H A  +  k B.

¿Qué son vectores ortogonales?

Dos vectores son ortogonales si el ángulo entre ellos es  90°.  En este caso, el producto escalar de los vectores es nulo.

El producto escalar de vectores da como resultado un escalar y resulta de la suma de los productos pareados de las componentes ordenadas de los vectores.

Con esta información, planteamos una ecuación lineal.

A · B  =  0        ⇒        (Ki  -  2j) · (Ki  +  6j)  =  0        ⇒

(K) (K)  +  (-2) (6)  =  0        ⇒        K²  =  12        ⇒        K  =  ± 2 √3

2)  Los vectores  A  y  B  son ortogonales si la constante  K  =  ± 2 √3.

Tarea relacionada:

Operaciones con vectores            https://brainly.lat/tarea/28402967