Question

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto C y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos A y B. Graficar las dos rectas en GeoGebra encontrando su punto de intersección y verificando el ángulo entre ellas.

A(-1,6); B(-2,-5); C(2,-7)

Answer 1

Hola :D

Siendo los puntos A(-1,6) B(-2,-5) y C(2,-7)

Tenemos que tomar parte de los datos proporcionados, lo más importante a destacar:

1. A y B pertenecen a una misma recta
2. La recta a la que pertenece C es perpendicular a A y B

Con esto en cuenta, determinamos la ecuación de la recta de A y B:

A(-1,6) --> $(x_{1},y_{1} )$         B(-2,-5) --> $(x_{2},y_{2}  )$

Encontramos la pendiente de la recta:

$m=\frac{y_{2}-y_{1}  }{x_{2} -x_{1} }$ Sustituimos:

$m=\frac{-5-6}{-2+1} \Rightarrow m=\frac{-11}{-1} \therefore m=11$

Ahora, hacemos uso del modelo punto-pendiente: $y-y_{1}=m(x-x_{1}  )$

Sustituimos: $y-6=11(x+1) \Rightarrow y=11x+11+6$∴$y=11x+17$

Ahora, encontramos la inversa, mediante las pendientes: $m_{1} \times m_{2}=-1 \therefore m_{2}=\frac{-1}{m_{1} }$

Como sabemos la pendiente que habíamos obtenido era de 11;

$m_{2}=\frac{-1}{11} \Rightarrow m=-\frac{1}{11}$

Ahora, volvemos a usar el modelo punto pendiente, pero ahora con C(2,-7);

$y+7=-\frac{1}{11}(x-2) \Rightarrow y=-\frac{1}{11}x+\frac{2}{11}-7\therefore y=-\frac{1}{11}x-\frac{75}{11}$

Ya habiendo obtenido todo lo anterior, nos falta determinar el punto de intersección, este lo encontraremos mediante un sistema de ecuaciones de las 2 ecuaciones de recta que obtuvimos:

$\left \{ {{11x+17=y} \atop {-\frac{1}{11}x-\frac{75}{11}=y  }} \right.$

Yo lo resolveré por igualación, ya que ambos están igualados a $y$ :

$11x+17=-\frac{1}{11}x-\frac{75}{11} \Rightarrow 11x+\frac{1}{11}x=-\frac{75}{11}-17$

Convertimos los números enteros a fracciones:

$\frac{121}{11}x +\frac{1}{11}x= -\frac{75}{11}-\frac{187}{11}$

$\frac{122}{11}x=-\frac{-262}{11}$ Podemos multiplicar por 11:

$11(\frac{122}{11}x=-\frac{262}{11}) \Rightarrow 122x=-262x  \therefore x=-\frac{131}{61}$

Encontramos $y:$

Siendo: $11x+17=y \Rightarrow 11(-\frac{131}{61} )+17=y$

$-\frac{1441}{61}+\frac{1037}{61}=y \therefore y=-\frac{404}{61}$

Por lo que las coordenadas serán: $(-\frac{131}{61},-\frac{404}{61})$

Obtenemos el ángulo (debe ser de 90)

$tan \theta =\frac{m_{2} -m_{1} }{1+m_{1}m_{2}  }$

$tan \theta =\frac{11-\frac{1}{11} }{1+(-\frac{1}{11})(11) } \Rightarrow tan \theta =\frac{\frac{121}{11}-\frac{1}{11}  }{1-1}$

$tan \theta =\frac{\frac{120}{11} }{0}$

La división entre 0 está indefinida, por lo que concluimos que sí es recto (90)