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Liapunov nació en Yaroslavl, en la Rusia Imperial. Su padre, Mijaíl Vasílievich Liapunov (1820-1868) fue un conocido astrónomo y director del liceo Demídovski. Debido a la reacción de la administración de la universidad, tras la salida de Lobachevski, abandonó completamente su trabajo en 1864 en el observatorio de la Universidad de Kazán. Se trasladó con su familia a la residencia de su mujer en la provincia de Simbirsk (actual óblast de Uliánovsk), donde dedicó su tiempo a educar a sus hijos mayores, Aleksandr y Serguéi (1859-1924). Durante las largas noches de invierno, se quedó con sus hijos y los educó asiduamente con la ayuda de juegos en mapas del mundo. Poseía numerosos libros en ruso, alemán y francés sobre temas tan variopintos como las matemáticas, la astronomía, la filosofía, la historia, la etnografía, la literatura y la política económica.
Tras la repentina muerte de su padre, Aleksandr fue educado por su tío R. M. Séchenov, hermano del célebre fisiólogo Iván Séchenov. Aleksandr recibió formación junto con su prima y prometida, Nataliya Rafaílovna, que posteriormente acabaría siendo su esposa. En 1870 la madre de Aleksandr se trasladó con sus hijos a Nizhni Nóvgorod, donde él empezó a asistir al tercer curso del gymnasium, del que se graduó con honores en 1876
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