Demostrar que si la raíz n-ésima de un número natural A no es un número entero, entonces es un número irracional.
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Respuesta dada por:
3
Se demuestra por el absurdo. Si no es un número entero, supongo que es un número racional.
Supongamos que la raíz enésima de A es un número racional a/b, donde a y b es no tienen factores comunes.
Raíz n de A = a/b; elevamos a la enésima potencia.
A = (a/b)^n, entonces:
a^n = A b^n
Con esta relación se deduce que a^n es un múltiplo de b^n, porque A es un número natural, distinto de cero.
Estamos contradiciendo el supuesto que a y b no tienen factores comunes.
Si una fracción no tiene factores comunes, cualquier potencia de ellas tampoco.
Ejemplo: 2/3 no tienen factores comunes: elevamos al cubo: 8/27 tampoco tienen factores comunes.
Mateo
mateorinaldi:
Si no tienen factores comunes a no es igual a k . b con k entero.
Elevamos a la potencia enésima: a^n no es igual a k^n . b^n. Siendo k entero k^n también es entero. Luego a^n NO es múltiplo de b^n
Mas bien, sea A = (a1, a2, ... , ak) el conjunto de factores primos de a.
Y sea B = (b1, b2, ... , bm), el conjunto de factores primos de b.
Entonces, los factores primos de a^n, son (a1, a1, ... , a1), (a2, a2, ..., a2), ... , (ak, ak, ..., ak), donde en cada grupo los factores se repiten n veces. De este modo, por ser los mismos factores de A repetidos, el conjunto de factores primos de a^n, es C = (a1,a2, ...,ak) = A.
Y los factores primos de b^n, son (b1, b1, ..., b1), (b2,b2,...,b2), ... , (bm,bm, ..., bm), donde en cada grupo los factores se repiten n veces. De este modo, por ser los mismos factores de B repetidos, el conjunto de factores primos de b^n, es D = (b1, b2, ... , bm) = B.
Si lo ves por medio de conjuntos, el conjunto de factores primos de a^n unido con el conjunto de factores primos de b^n es el conjunto VACÍO.
Entonces, C∩D = ∅. Por tanto, a^n y b^n no tienen factores primos comunes. Y la fracción (a)^n/(b)^n es irreducible.
Perdón, la INTERSECCIÓN es el conjunto vacío
Así, (a)^n/(b)^n ≠ k, donde k es un número natural. En particular, se tiene que (a)^n/(b)^n ≠ A. Hemos llegado a una contradicción. Por esto, la suposición inicial es falsa. Y así la raíz enésima de A es un número irracional.
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