Question

Flujo de efectivo: La tasa de desembolso $\frac{dQ}{dt}$ de una donación federal de 2 millones de dólares es proporcional al cuadrado de ($100-t$). El tiempo $t$ se mide en días ($0\leq t\leq 100$) y $Q$ es la cantidad que queda para ser desembolsada. Determinar la cantidad que queda para desembolsarse después de 50 días. Suponer que todo el dinero se gastará en 100 días.

Answer 1

PREGUNTA

Flujo de efectivo: La tasa de desembolso $\mathbf{\dfrac{dQ}{dt}}$ de una donación federal de 2 millones de dólares es proporcional al cuadrado de (100-t). El tiempo t se mide en días $\mathbf{(0\leq t\leq 100)}$ y Q es la cantidad que queda para ser desembolsada. Determinar la cantidad que queda para desembolsarse después de 50 días. Suponer que todo el dinero se gastará en 100 días.

SOLUCIÓN

Hola!! :D

*Observación

                Unidades

                        * t : días

                        * Q: millones

Establecemos la relación entre la tasa de desembolso y el tiempo

                             $\boxed{\mathbf{\dfrac{dQ}{dt} = k(100-t)^{2}}}$

                             Siendo k una costante

Diferenciaremos para luego integrar y hallar Q en función de "t"

                             $\dfrac{dQ}{dt} = k(100-t)^{2}\\\\dQ = [k(100-t)^{2}]dt\\\\\int\limits{dQ} \, = \int\limits{[k(100-t)^{2}]} \, dt\\\\Q =k\int\limits{(t^{2}+100^{2}-200t)} \, dt\\\\\boxed{Q = k(\dfrac{t^{3}}{3} -\dfrac{200t^{2}}{2} +100^{2}t ) + c }$

                            Donde "c" es la constante de integración

Analizamos

• Cuando t = 0, entonces Q = 2(condición inicial), reemplazamos

                           $Q = k(\dfrac{t^{3}}{3} -\dfrac{200t^{2}}{2} +100^{2}t ) + c\\\\2=k(\dfrac{0^{3}}{3} -\dfrac{200(0)^{2}}{2} +100^{2}(0) ) + c\\\\\boxed{\boldsymbol{c = 2}}$

• Cuando t = 100, entonces Q = 0, reemplazamos

                           $Q = k(\dfrac{t^{3}}{3} -\dfrac{200t^{2}}{2} +100^{2}t ) + 2\\\\0 = k[\dfrac{(100)^{3}}{3} -\dfrac{200(100)^{2}}{2} +100^{2}(100)] + 2\\\\k(\dfrac{10^{6}}{3}) = -2\\\\\boxed{\boldsymbol{k = \dfrac{-6}{10^{6}}}}$

Entonces la ecuación Q en función de "t" sería

                            $\boxed{\boxed{\mathbf{Q = \dfrac{-6}{10^{6}}(\dfrac{t^{3}}{3} -\dfrac{200t^{2}}{2} +100^{2}t ) + 2 }}}$

Nos pide determinar la cantidad que queda después de50 días, es decir

• Cuando t = 50, entonces Q = ???

                            $Q = \dfrac{-6}{10^{6}}(\dfrac{50^{3}}{3} -\dfrac{200(50)^{2}}{2} +100^{2}(50) ) + 2\\\\\boxed{\mathbf{Q = 0.75}}$

Rpta. Después de 50 días habrá 0.75 millones

Answer 2

Respuesta:

La persona que explico lo de arriba tiene un procedimiento correcto pero respuesta incorrecta, la respuesta correcta es de 0.25

Explicación paso a paso: