Un grupo de biólogos estudia las características de un lago artificial en el cual introdujeron un conjunto de peces para analizar la evolución de esta población, En un principio, la colonia crece reproduciéndose normalmente, pero al cabo de unos meses algunos peces muere, a causa del hacinamiento.
Uno de los científicos plantea:
"He llamado x a los días que han transcurrido y n a la cantidad de peces. Mis registros indican el conjunto de peces evoluciona según la ley n(x) = 240+10x-0.1x²
Debemos hacer algo rápidamente ya que, con esta proyección, pronto se extinguirán.
Sobre la base de la función dada por ese científico.
A. ¿Cuantos peces introdujeron en el lago?
B. ¿Durante cuanto tiempo la cantidad de peces fue aumentando?
C. ¿Cual fue la cantidad máxima que llego a haber?¿En que momento?
D. ¿Cuando se extinguirá la población?
E) Definir dominio e imagen de la función n(x)
Valor: 40 puntos
Respuestas
Respuesta:
Hola,entonces la respuesta seria Como el tiempo no es negativo tenemos que x=120
Explicación paso a paso:
La cantidad de peces fue para el tiempo x=0
n(0) = 240
Tenemos que hallar el momento en que ocurre el máximo:
n'(x) = 10-0.2x = 0
x=10/0.2 = 50
Entonces fue aumentando hasta el tiempo x=50
La cantidad máxima en ese momento x=50 es:
n(50) = 240 +10(50) - 0,1(50)² = 490
Se extinguirá la población cuando n(x) = 0 para x diferente de 0
240+10x-0.1x² = 0
multiplicando por 10 tenemos:
2400 + 100x - x² = 0
x²-100x-2400=0
(x-120)(x+20)=0
x=120
x=-20
Como el tiempo no es negativo tenemos que x=120
Inicialmente se introdujeron en el lago 240 peces, de acuerdo con el modelo cuadrático proporcionado y su evaluación en el tiempo cero o punto de partida de la cronología.
Explicación paso a paso:
Con el modelo cuadrático suministrado vamos a responder las interrogantes formuladas:
A. ¿Cuantos peces introdujeron en el lago?
El momento de la introducción de los peces en el lago es el punto de partida de la cronología, es decir, es el tiempo cero.
n(0) = 240 + 10(0) - 0.1(0)² = 240
Inicialmente se introdujeron en el lago 240 peces.
B. ¿Durante cuanto tiempo la cantidad de peces fue aumentando?
Vamos a aplicar los criterios de primera derivada para intervalos de crecimiento y puntos extremos.
n' = 10 - 0.2x
El valor de x que anula n' es x = 50
Hasta x = 50 la función es creciente y de allí en adelante decrece; por tanto,
La cantidad de peces en el lago creció en los primeros 50 días.
C. ¿Cual fue la cantidad máxima que llego a haber?¿En que momento?
La cantidad máxima es el valor de n que corresponde al valor crítico de x donde la función cambia de creciente a decreciente, o sea, x = 50.
n(50) = 240 + 10(50) - 0.1(50)² = 490
A los 50 días de la introducción de los peces al lago se tuvo la mayor cantidad de población, 490 peces.
D. ¿Cuando se extinguirá la población?
Factorizamos para hallarlos valores de x en que la función es nula
240 + 10x - 0.1x² = 0 ⇒ x² - 100x - 2400 = 0 ⇒
(x - 120)(x + 20) = 0 ⇒ x = 120 (x = -20 no puede ser)
La población se extinguirá a los 120 días, de continuar la tendencia actual.
E) Definir dominio e imagen de la función n(x)
La función cuadrática n(x) = 240 + 10x - 0.1x² tiene
Dominio: x ∈ R
Imagen: n ∈ (-∞ ; 490]
Ahora si recordamos que n es número de peces y que x es tiempo transcurrido en días, entonces se restringe la definición a los intervalos en que estas variables son positivas o nulas:
Dominio: x ∈ [0 ; 120]
Imagen: n ∈ [0 ; 490]
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