Question

Necesito ayuda con esto por favor es para mañana

Answer 1

Respuesta:

El área de la base mide 50,3 cm²

Explicación paso a paso:

Lo que se aprecia en el dibujo es un prisma hexagonal con las caras laterales que son cuadrados.

Según eso, podemos decir que el lado de cualquiera de los cuadrados que forman las caras laterales es igual al lado del hexágono que forman las bases. Dicho lado lo represento como "x".

Como el único dato numérico que nos dan es el área total, hay que buscar una manera de igualar ese dato a la suma del área lateral más el área de las bases de este prisma.

Así pues, el área de una cara lateral será elevar su lado al cuadrado,

o sea: x² y como tenemos 6 caras iguales, el área lateral será  6x²

Veamos ahora el área de las bases fijándonos en una de ellas que es un hexágono regular.  

Sabemos que el área del hexágono es el producto del perímetro (suma de sus lados) por la apotema y el resultado se divide por 2.

El perímetro ya lo tenemos claro porque será 6 veces el lado, es decir: 6x

Lo más laborioso es encontrar el valor de la apotema que habremos de colocar en función del lado para seguir teniendo una sola incógnita y poder establecer la ecuación.

En un hexágono sabemos que al trazar los segmentos desde el centro a los vértices se forman triángulos equiláteros y la apotema del hexágono es cualquiera de las alturas de uno de estos triángulos, o sea, el segmento trazado desde el centro del hexágono al centro de un lado.

Pues hay una fórmula deducida del teorema de Pitágoras que establece el valor de la altura (h) de cualquier triángulo equilátero en función de su lado (x) y que dice:  $x=\dfrac{2h}{\sqrt{3} }$

Despejando "h"...   $h=\dfrac{x\sqrt{3} }{2}$

Acudiendo de nuevo a la fórmula del área del hexágono, sustituyo esta expresión donde aparece la "h"...

$A=\dfrac{Per\'imetro\ (6x)*Apotema\ (h)}{2} =\dfrac{6x*\dfrac{x\sqrt{3} }{2}}{2} =\dfrac{6x^2\sqrt{3} }{4} =\dfrac{3x^2\sqrt{3} }{2}$

Y como tenemos 2 bases, hay que duplicar ese resultado con lo que obtengo el valor del área de las bases:

$\'Area\ bases=\dfrac{3x^2\sqrt{3} }{2}*2=3x^2\sqrt{3}$

Procedo a sumar el área de las bases y el área lateral igualando al área total que me dan como dato.

$\'Area\ total=3x^2\sqrt{3}+6x^2=216\ ...saco\ factor\ com\'un\ de\ x^2\\ \\ x^2*(3\sqrt{3} +6)=216\\ \\ x^2=\dfrac{216}{11,2} \\ \\ x=\sqrt{19,3} =4,4\ cm.\ es\ lo\ que\ mide\ el\ lado$

Sabiendo lo que mide el lado, sustituyo su valor en el despeje de la apotema y calculo ésta:  

$ap.=\dfrac{4,4*\sqrt{3} }{2}=3,8\ cm.$

Finalmente se calcula lo que nos pide: el área de la base.

$\'Area\ base=\dfrac{6\ *\ 4,4\ *\ 3,8}{2} =50,3\ cm^2$

Saludos.