Question

En Una Proporción Geométrica Continua de Razon K. La Suma De los 4 Terminos es S y la Diferencia de los extremos es 0,4s, Hallar K.
Ayudenme lo necesito

Answer 1

Buenas,

Una proporción geométrica continua es de la forma :

$\frac{a}{b} = \frac{c}{a} = k$

Nos dicen que la suma de los 4 términos es S, por lo tanto :

a + b + c + a = S

➊ 2a + b + c = S

Guardemos esa ecuación, por mientras, también nos dicen que la diferencia de extremos es 0.4S. Esto quiere decir que :

➋ c - b = 0.4S

Además como es una proporción, tenemos las igualdades:

$b = \frac{a}{k} \text{ y } c = ak$

Considerando esto, dejaremos solo variables "a" en las ecuaciones ➊ y ➋ . Para eso sustituimos b y c :

➊

$2a + \frac{a}{k} +ak = S\\\\ a ( 2 +\frac{1}{k} + k) = S \\\\a(\frac{k^2 + 2k + 1 }{k}) = S \\\\\boxed{\frac{a(k+1)^2}{k} = S }$

Realizamos lo mismo con la ecuación ➋ :

$a( k - \frac{1}{k}}) = 0.4S \\\\\boxed{\frac{a(k^2 - 1)}{k} = 0.4S}$

Bien, ahora con las ecuaciones ➊ y ➋  en función de "a" y "S", dividiré la ecuación ➋ en ➊ :

$\frac{\frac{a(k^2 - 1)}{k}}{\frac{a(k+1)^2}{k}} = \frac{0.4S}{S}$

Con esto, se simplifican las "a" y "S" , usamos la suma por su diferencia para simplificar el factor (k+1) y resolvemos el valor de k:

$\frac{(k^2 - 1)}{(k+1)^2} = 0.4 \\ \\\frac{(k+1)(k-1)}{(k+1)^2} = 0.4 \\\\\frac{k-1}{k+1} = 0.4 \\\\k - 1 = 0.4k + 0.4\\\\0.6k = 1.4 \\\\\bigstar \boxed{k = \frac{1.4}{0.6} = \frac{7}{3}}$

Salu2.