Question

1. Analiza el siguiente problema
Una asociación contra el cáncer de niños se encarga de recolectar tapas desechables con el propósito de venderlas y así obtener una cantidad de dinero extra para continuar con su labor.
Según su estadística, la ecuación que representa el número de tapas a recolectar es la siguiente f(x)= -x2 + 12x donde f(x) señala la cantidad de tapas recolectadas y "x" representa el tiempo en semanas. Ligado a esto, la asociación ya cuenta con 30,000 tapas que ha recolectado por su cuenta.

2. Desarrolla la ecuación, para obtener los puntos que deberás marcar posteriormente en los ejes X y Y de una gráfica que represente el número de tapas recolectadas.

3. Realiza la gráfica que representa la ecuación, y responde las siguientes preguntas:

a) ¿En qué momento se recolecta el máximo número de tapas? ¿Cuántas tapas se recolectan?

b) ¿En qué momento ya no se recolectan tapas? Justifica tu respuesta, desarrollando la formula y no olvides que los resultados son en miles.
Función: f(x)= -x2 + 12x
a= -1
b= 12
c= 0
Fórmula:


c) ¿Cuál es la relación que existe entre el tiempo y el número de tapas que se juntaron?

d) ¿Cuál sería el total de tapas en el punto máximo, en conjunto con lo ya obtenido por la asociación con anterioridad?



4. Obtén la ecuación de la recta secante e intégrala en la misma grafica de la parábola anterior. Considera que para la recta tendrás que usar los siguientes valores y la fórmula de la pendiente que pasa por dos puntos:

x1 = 5
x2 = 6

5. En la gráfica anterior, donde la recta secante toca la curva (parábola), desarrolla la ecuación de recta tangente y elabora su respectiva gráfica, la cual pasa por el punto máximo de la función. Recuerda que la pendiente la puedes obtener derivando la función y evalúa en el punto dado (punto máximo).

6. Al finalizar, debes obtener una gráfica que integre dos rectas y una curva.

Answer 1

LA ASOCIACIÓN CON CÁNCER TIENE LAS SIGUIENTES ESTRUCTURAS MATEMÁTICAS:

1. f(x) = -1000x² + 12000x + 30000 → Ecuación
2. Se recolecta un máximo de tapas en la semana 6 con una cantidad de 66000 tapas.
3. La relación entre el tiempo y las tapas es cuadrática
4. En la semana 6 se tendrá un total de 66000 tapas.
5. y = 500x + 62500 → Recta secante
6. y = 66000 → Recta tangente en el punto más alto.
7. Cuando los puntos que forman una recta secante se van acercando cada vez más se obtiene una recta tangente.

EXPLICACIÓN:

Tenemos inicialmente la función que representa la cantidad de tapas por semana y ademas tenemos una cantidad inicial de tapas, es decir:

• f(x) = -x² + 12
• Tapas iniciales 30000

Por tanto, la ecuación que representaría esto es la siguiente:

f(x) =  (-x² + 12) + 30000

1- f(x) = -1000x² + 12000x + 30000

La gráfica podemos verla adjunto.

2- Se recolectarán tapas hasta que llegue a su punto máxima porque luego empieza descender y esto ocurre en la semana 6 con una cantidad de 66000 tapas.

3- La relación entre el tiempo y las tapas es cuadrática.

4- Para buscar la cantidad de tapas máximas debemos derivar e igualar a cero, y buscar el punto máximo:

f(x) = -1000x² + 12000x + 30000

f'(x) = -2000x + 12000 = 0

x = 6 → Semana  6

Ahora buscamos la cantidad de tapas en la semana 6, tenemos:

f(6) = -1000(6)² + 12000(6) + 30000

f(6) = 66000

En la semana 6 se tendrá un total de 66000 tapas.

5- Ahora buscamos la recta secante, para ello buscamos la pendiente de la misma, tenemos que:

x₁ = 5 ∴ f(5) = -1000(5)² + 12000(5) + 30000 = 65000

x₂ = 6.5 ∴ f(6.5) = -1000(6.5)² + 12000(6.55) + 30000 = 65750

Ahora, la pendiente será:

m = (65750-65000)/(6.5-5)

m = 500

Por tanto, la recta secante será:

y-65000 = 500(x-5)

y = 500x + 62500 → Recta secante

6- Ahora, la recta tangente en el punto más alto será:

f'(x) = -2000x + 12000

El punto más alto será (6,66000), evaluamos y tenemos:

f'(6) = -2000(6) + 120000 = 0

¿Tiene sentido que la pendiente sea cero?

Si tiene sentido porque se esta buscando en el punto más alto, al buscarse en el punto más alto entonces la pendiente será cero.

Nuestra recta tangente será:

y- 66000 = 0·(x-6)

y = 66000 → Recta tangente en el punto más alto.

7- Cuando los puntos que forman una recta secante se van acercando cada vez más se obtiene una recta tangente y esta última representa el cambio que tiene cierta función, en este caso representa el cambio en el comportamiento de la parábola.

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