Question

Resuelva por el método gráfico el problema que satisface las inecuaciones:

4X1 + 2X2 ≤ 24
2X1 + 3X2 ≤ 48
3X1 + 2X2 ≤ 18

Identifique las condiciones respuesta de: Punto de respuesta de las variables (intersección de las rectas).

Answer 1

La solución del sistema de ecuaciones es la siguiente región solución:

• Para (-∞ -  0]  Sol = ∀ X ∧Y ∈ 4X1 + 2X2 ≤ 24.

• Para (0-(-36)] Sol = ∀ X ∧Y ∈ 2X1 + 3X2 ≤ 48
• Para (-36-(∞)) Sol= ∀ X ∧Y ∈ 3X1 + 2X2 ≤ 18

Explicación paso a paso:

Para resolver éste ejercicio, tenemos que saber primero que la solución será una región que satisfaga las 3 expresiones de tal forma que, podemos plantear las inecuaciones como rectas:

1. 4X1 + 2X2 ≤ 24   -------> X1= 6-X2/2
2. 2X1 + 3X2 ≤ 48--------->X1=24-3X2/2
3. 3X1 + 2X2 ≤ 18----------> X1= 6-2X2/3

Planteando las gráficas se nos muestran varias regiones, por lo que lo primero que haremos será encontrar el punto donde se interceptan todas las rectas:

Podemos notar que no hay un lugar donde se intersecten las 3 rectas en la gráfica, así que conoceremos los puntos donde se cortan entre ellas, en la gráfica:

Recta 1 y recta 2:

P1 = (18,3)

Recta 2 y 3:

P2=(36,-30)

Recta 1 y recta 3:

P3=(0,6)

Ahora que tenemos los puntos vamos a sustituir puntos que pertenezcan a cada una de las regiones.

Empezaremos evaluando la región que limitan las 3 rectas, un punto perteneciente a ésta region es:

P=(10,0)

• 4X1 + 2X2 ≤ 24

4(0)+2(10)≤24

20≤24 ----------> Satisface.

• 2X1 + 3X2 ≤ 48

2(0)+3(10)≤48

30≤48-----------> Satisface.

3X1 + 2X2 ≤ 18

3(0) +2(10)≤18

20≤18 ---------> No satisface.

Por lo tanto la región no pertenece!.

Ahora estudiaremos la región que se encuentra por debajo de las 3 rectas:

Un punto perteneciente a ésta región es:

P=(0,0)

4X1 + 2X2 ≤ 24

0≤24 ------------> Satisface

2X1 + 3X2 ≤ 48

0≤48------------> Satisface

3X1 + 2X2 ≤ 18

0≤18----------->satisface

Entonces ESTA es la región solución.

Adjunto en la parte inferior el gráfico:

Región solución:

Para (-∞ -  0]  Sol = ∀ X ∧Y ∈ 4X1 + 2X2 ≤ 24.

Para (0-(-36)] Sol = ∀ X ∧Y ∈ 2X1 + 3X2 ≤ 48

Para (-36-(∞)) Sol= ∀ X ∧Y ∈ 3X1 + 2X2 ≤ 18