Question

alguien podria resolver este problema por método de suma de Riemann: $\int\limits^6_2 {5x+\frac{2}{3} } \, dx$ (el de abajo es -2 no 2).

Answer 1

El valor de ∫₋₂⁶ (5x + 2/3) dx  es de 256/3 aplicando el método de Riemman.

EXPLICACIÓN:  

Tenemos la siguiente integral:  

∫₋₂⁶ 5x + 2/3 dx

Definimos la suma de Riemann.  

∫ₐᵇ f(x) = lim(n→∞) ∑f(a+ kΔx)•Δx Donde ∑ esta definida desde k = 1 hasta n.  

Ahora, sabiendo esto debemos buscar los parámetros de Riemman.  

Δx = (b-a)/n  

Δx = (6-(-2))/n  

Δx = 8/n → DELTA

Entonces, debemos evaluar nuestra función en:  

f(a+ kΔx) = f(-2 + 8k/n)

Sabemos que f(x) = 5x + 2/3, entonces:  

f(-2 + 8k/n) = 5•(-2+8k/n) + 2/3  

Simplificamos y tenemos:  

f(-2 + 8k/n) = -10 + 40k/n + 2/3  

f(-2 + 8k/n) = -28/3 + 40k/n → FUNCIÓN EVALUADA

Ahora, sustituimos en la sumatoria y tenemos que:

∑f(a+ kΔx)•Δx = ∑(-28/3 + 40k/n)·(8/n)

Simplificamos:

∑(-28/3 + 40k/n)·(8/n)  = ∑(-224/3n + 320k/n²)

Ahora, sabemos que la sumatoria va desde k = 1 hasta n, por tanto todo lo distinto a k es una constante.

Por otra parte, aplicando formulas de series tenemos que:

• ∑k = n·(n+1)/2  desde k = 1 hasta n
• ∑a = a·n desde k = 1 hasta n

Sustituimos y tenemos que:

∑(-224/3n + 320k/n²) = (-224n/3n + 320·n(n+1)/2n²

Ahora, debemos aplicar el limite, tenemos:

lim(n→∞) (-224n/3n + 320·n(n+1)/2n²)

Resolviendo tenemos que:

lim(n→∞) (-224n/3n + 320·n(n+1)/2n²)  =  -224/3 + 320 = 256/3

NOTA: si tienes algunas duda por favor no dudes en preguntar ya que es un ejercicio muy teórico. Repasar las ecuaciones de definición de sumatoria.