Un balon de futbol de masa 0.4 kg es lanzado hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s. la.resustencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad. calcular altura maxima
Respuestas
Se resuelve mediante integrales. Habría que conocer la constante de proporcionalidad para hallar la altura. Busquemos la altura máxima en función de esta constante, k
El peso y la fuerza resistente son las que actúan sobre el balón
- m g - k v² = m a
La aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo. La expresaremos en función de la posición
a = dv/dt . dx/dx = dx/dt . dv/dx = v . dv/dx; reemplazamos:
- m g - k v² = m v dv/dx; separamos variables:
dx = - m v dv / (m g + k v²)
Integramos: (se resuelve por sustitución)
x = - m / (2 k) Ln(m g + k v²)
Cuando x = 0, v = 20 m/s; cuando x = H, v = 0
Aplicando estas condiciones a la integral:
H = m / (2 k) Ln [(m g + 400 k) / (m g)]
Supongamos que k = 0,1; g = 10
v = 20 está incluida en la ecuación (400 = 20²)
H = 0,4 / (2 . 0,1) Ln[(0,40 . 10 + 400 . 0,1) / (0,40 . 10)] ≅ 4,80 m
Saludos Herminio