Un centro de reciclaje industrial utiliza dos chatarras de aluminio, a y b, para producir una aleación especial. la chatarra a contiene 6% de aluminio, 3% de silicio, y 4% de carbón. la chatarra b contiene 3% de aluminio, 6% de silicio, y 3% de carbón. los costos por tonelada de las chatarras a y b son de $100 y $80, respectivamente. las especificaciones de la aleación especial requieren que (1) el contenido de aluminio debe ser mínimo de 3% y máximo de 6%; (2) el contenido de silicio debe ser de entre 3 y 5%, y (3) el contenido de carbón debe ser de entre 3 y 7%. determine la mezcla óptima de las chatarras que deben usarse para producir 1000 toneladas de la aleación.
Respuestas
Para que el costo sea mínimo se necesita 33.33% de la chatarra A y 66.66% de la chatarra B.
EXPLICACIÓN:
Inicialmente planteamos variables, tenemos:
- x: chatarra A para la aleación
- y: chatarra B para la aleación
Ahora, definimos las condiciones que nos expresa el enunciado.
CONTENIDO DE ALUMINIO.
- 0.06x + 0.03y ≥ 0.03
- 0.06x + 0.03y ≤ 0.06
CONTENIDO DE SILICIO.
- 0.03x + 0.06y ≥ 0.03
- 0.03x + 0.06y ≤ 0.05
CONTENIDO DE CARBONO.
- 0.04x + 0.03y ≥ 0.03
- 0.04x + 0.03y ≤ 0.07
Sabemos ademas, que al sumar la cantidad de de chatarra A más la cantidad de chatarra B tenemos un todo, es decir la unidad:
- x + y = 1
Deseamos minimizar los costos, por tanto, nuestra función objetivo será:
min(Z) = 100x + 80y
Ahora, debemos gráficar todas estas condiciones y buscar donde se ubica la solución, veamos la gráfica adjunta.
Entonces, interceptamos la recta morada con la recta azul.
1-x = (5-3x)/6
6 - 6x = 5 -3x
1 = 3x
x = 1/3
x = 0.33
Ahora, buscamos a 'y', tenemos:
y = 1 - 0.3333
y = 0.6666
Por tanto, se necesitará el 33.33% de la chatarra A y el 66.66% de la chatarra B.
NOTA: la solución del sistema de inecuaciones queda justamente encima de la recta x + y = 1.
A continuación un breve resumen sobre el reciclaje industrial por medio del uso de 2 modelos de chatarras de aluminio como por ejemplo: (A) y (B), logrando producir una aleación pura y especial.
Este metal se extrae únicamente del autentico mineral reconocido a nivel mundial con el nombre de bauxita, por transformación primero en alúmina mediante el proceso Bayer y a continuación en aluminio metálico a través electrólisis.
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