Question

Indicar si $= \lbrace(1,1,1), (1,3,2)\rbrace$ es una base de $W = \lbrace(x,y , z) \in\ \mathbb{R}^3 : x+y-2z=0\rbrace$
justificando la respuesta.

Answer 1

Respuesta:  

(111) ( 132)    

  ×(-1)1         ×(-1)1         ×(-1)1                  1        1        1

  +  ↓               +↓             +↓       =  

   1                  3               2                      0        2        1

EL ESPACIO GENERADOS (1, 1, 1) .(0, 2, 1)  NO HAY NINGÚN NUMERO QUE MULTIPLICADO AL PRIMER COMPONENTE  NOS RESULTA EL SEGUNDO COMPONENTE

0×(1,1,1,)=(0, 2, 1)  ESTO ES UN SISTEMA  LIBRE   Y COMO TIENEN 2 ELEMENTOS

POR LO TANTO EL CONJUNTO SOLUCIÓN ES  2

   W=  (x,y,z)  ∈ R³:    x  +  y - 2z =0

x  +  y - 2z =0

y=β

z=α

reemplazamos

x  +  β - 2α =0 despejamos

x=  -β + 2α

x  +  y - 2z =0  remplazamos  x,y,z en función de α yβ

(x,y,z)∈ W→ (x,y,z)= (-β + 2α , β , α) ahora separamos como suma de vectores

                   (x,y,z)= (-β + 2α , β , α)= (-β,β,0) + ( 2α,0,α)  despejando α  y  β

                                                         β(-1,1,0) + α( 2,0,1)

W=<  (-1,1,0) ( 2,0,1) >

(-1,1,0)= ( 2,0,1) no son proporcionales  por lo tanto es un sistema libre

la dimension de W= 2

Explicación paso a paso: