La base de una pintura rectangular es 8 pulgadas menor que el doble de su altura. Si el marco tiene 4 pulgadas de ancho y un área de 768 pulgadas cuadradas, hallar las dimensiones de la pintura sin el marco
Respuestas
Respuesta:
El área del cuadro sin el marco es de 384 pulg²
Explicación paso a paso:
Área de la Pintura Rectangular:
Ap = B x A
Donde A = h y B = 2h - 8 ⇒ Ap = (2h - 8)h
Donde se requiere encontrar a h, para poder determinar su área, que es el objetivo del problema.
Ahora,
Área del Marco:
Am = 768 pulg²
Donde su área es: Am = Bm x Hm, donde no se conocen Bm y Hm.
Pero, apoyados en las dimensiones de la pintura, se utilizará el área y ecuación del marco, para llegar al valor de h.
De esta manera:
Bm = (2h - 8 ) + 2*4 = 2h - 8 + 8 = 2h ∴ Bm = 2h
Hm = h + 2*4 = h + 8 ∴ Hm = h + 8
Entonces el área del marco se expresa como:
2h * (h +8) = 768 ⇒ 2h² + 16h = 768 ⇒ h² +8h = 384
que es la forma de una ecuación cuadrática:
h² +8h -384 = 0 ( 1 )
Una ecuación cuadrática de la forma ax² + bx + c = 0, se resuelve a través de la expresión:
x = (-b +/- √( b² - 4ac))/ 2a
De ( 1 ) se desprende que:
a = 1; b = 8; c=384
Empleando la ecuación resolutiva (que el estudiante, debe completar), se tiene que, la ecuación ( 1 ) tiene 2 soluciones:
h₁ = 16 y h₂ = -24
Dado que h, determina el valor de un área rectangular, cuyo valor de cualquiera de sus lados no puede ser negativo, se descarta la solución h₂.
De esta manera, reemplazando h₁ en la ecuación del área de la pintura, se tiene que:
Ap = (2h - 8)h;
Ap = (2*16 - 8)*16 = 24*16 = 384
∴ Ap = 384 pulg²
A tu orden...
Respuesta:
--sin marco
altura = x pulgadas
base = (2x-8)pulgadas
area = x(2x-8)
--con marco
altura = (x+8) pulgadas
base = 2x pulgadas
area = 2x(x+8) pulgadas
ahora bien, el area de la pintura incluyendo el marco, menos el area de la pintura sin este último, es igual al area del marco:
2x(x+8) - x(2x-8) = 816
2x² + 16x - 2x² + 8x= 816
24x = 816
x= 34
por lo tanto:
altura de la pintura = 34 pulgadas
y la base de la pintura = 2(34) - 8 = 60 pulgadas