Question

Halle la derivada (F’) de F(x)=∫ t (t^3−4) dt y compruebe por proceso inverso. Entre los intervalos [-1,x]

Answer 1

La derivada de f'(x) = -x(x³ - 4) para la función inicial, comprobado por proceso inverso de integración.

EXPLICACIÓN:

Inicialmente el teorema fundamental del calculo, parte II, nos indica que:

f'(x) = ∫ₐᵇ f(t) dt = f(b(x))· b'(x) - f(a(x))·a'(x)

Procedemos a resolver la integral mediante el segundo teorema fundamental del calculo, tenemos:

F(x) = ∫t·(t³-4) dt  evaluado desde [-1,x]

Entonces, tenemos que:

f'(x)= (-1)·[(-1)³ -4]· (-1)' - x·(x³-4)·x'

f'(x) = -x(x³ - 4)

Observando de esta manera el valor de la derivada de F(x) que viene siendo igual a lo que se desea integrar en F(x), por tanto, la comprobación es correcta.