Question

Las medidas de las diagonales de un rombo suman 68cm y su lado mide 26cm.Halla las medidas de las diagonales de este rombo

Answer 1

Explicación:

El rombo es un tipo de paralelogramo donde el par de sus lados opuestos mantienen una igualdad y paralelismo, por lo tanto en esta figura se aplica ley del paralelogramo cual nos dice que la suma de los cuadrados de sus lados (a y b) es igual a la suma de los cuadrados de sus diagonales (mayor y menor), algebráicamente:

La suma de los ² de sus lados: a²+a²+b²+b² <=> 2a²+2b² <=> 2(a²+b²)

La suma de sus ² de sus diagonales: D²+d²

Brindando así la siguiente fórmula:

2(a²+b²)= D²+d²

O si el rombo tiene todos sus lados iguales:

4a²= D²+d²

Resolución:

Siendo,

• a  = lado
• D = Diagonal Mayor
• d = Diagonal menor

Razonamiento:

Como solo nos da la medida de uno de los lados, asumimos que se trata de un rombo cuadrado, solo nos falta saber la medida de las diagonales.

Tenemos que las la suma de sus diagonales es 68 cm, por lo tanto la ecuación quedaría D+d= 68.

Datos: a = 26 cm

Planteamiento:

D + d = 68 -----> Ec.1

4a² = D² + d² --> Ec.2

Resolviendo:

*Reemplazando "a" en (2) y despejando "d".*

4(26)² = D²+d²

4(676) - D² = d²

2704 - D² = d²

$\sqrt{2704-D^{2} } =d$

- Sustituyendo (2) en (1) -

D + $\sqrt{2704-D^{2} }$ = 68

$\sqrt{2704-D^{2} }=68-D^{2} \\ \\ (\sqrt{2704-D^{2} })^{2} =(68-D^{2} )^{2} \\ \\2704-D^{2}=68^{2} -2(68)(D)+D^{2} \\ \\ 2704-D^{2}=4624 -136D+D^{2}\\ \\ 2704-4624 =-136D+D^{2}+D^{2}\\ \\ -1920=-136D+2D^{2} \\ \\ -1920+136D-2D^{2} =0\\ \\ 1920-136D+2D^{2} =0$

Ordenando:

2D²- 136D + 1920 = 0

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Notas:

- Para (68-D)², que es un producto notable de la forma (a-b)² = a²-2ab+b², donde: a=68 y b=D. Se aplicó aquello.

- En una parte se elevó al cuadrado en ambos lados con el fin de eliminar la raíz.

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Aplicamos la fórmula general:

$D_{1,\:2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Donde,

• a=2
• b=-136
• c=1920

$D_{1,2}=\frac{-\left(-136\right)\pm \sqrt{\left(-136\right)^2-4(2)(1920)}}{2\times \:2}$

$D_{1,2}=\frac{\left136\right\pm \sqrt{\left18496-4(3840)}}{4}$

$D_1= \frac{136+\sqrt{3136}}{4}=\frac{136+56}{4}= \frac{192}{4}= 48$

$D_2=\frac{136-\sqrt{3136}}{4}= \frac{136-56}{4}=\frac{80}{4}= 20$

Tomamos el valor mayor, por mera causa de que D es la diagonal mayor, entonces:

D= 48

- Encontrando "d" -

D + d = 68

48+d=68

d= 68-48

d= 20

RESPUESTA:

La diagonal mayor tiene un valor de 48 cm y la menor de 20 cm.