Question

Dado f(x)=ax^3 hallar lim h → 0 f(x+h) - f(x) / h

Answer 1

Tarea

Dado f(x) = ax³

Hallar lim h→0 f(x+h) - f(x) / h

Hola!!!!

Si ponemos atención en el formato del limite que nos proporcionan, distinguimos claramente que es la formula de la Derivada de la función; Esto es importante saberlo para poder verificar si el resultado que obtuvimos es igual al de la derivada de una función polinómica que la hallamos directamente.

Algunas consideraciones teóricas a tener en cuenta:

Trinomio al cubo: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Deriva de una función Polinómica:

(axⁿ) = n×aⁿ⁻¹

Tenemos:     lim h→0 f(x+h) - f(x) / h         f(x) = ax³    ⇒

im h→0 f[(a(x+h)³) - f(x)]/h  =

lim h→0 f[(a(x³ + 3x²h + 3xh² + h³) - f(x)]/h  =

lim h→0 f[(ax³ + 3ax²h + 3axh² + ah³) - f(ax³)]/h  =

lim h→0 f(ax³)/h + lim h→0 f(3ax²h)/h + lim h→0 f(3axh²)/h + lim h→0 f(ah³)/h -f(ax³)/h  =

lim h→0 (ax³)/h + lim h→0 (3ax²) + lim h→0 (3axh) + lim h→0 (ah²) - (ax³)/h =

(3ax²)×lim h→0 (1) + 3ax×lim h→0 (h) + a×lim h→0(h²) =

3ax²×1 + 3ax×0 + a×0 =

3ax² + 0 + 0 =

3ax²            Resultado

Verificamos:

Sabemos que: (axⁿ) = n×aⁿ⁻¹

(ax³)' = 3ax²     Verifica!!!!

Saludos!!!!

Answer 2

$\mathrm{\large{Dado \ la \ función:}}$

$f(x)=ax^3$ Hallar el $\displaystyle{\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$

$\mathrm{{Reemplazando}}$

$\displaystyle{\lim_{h\to 0}\frac{a(x+h)^3-ax^3}{h}=\frac{0}{0}\Rightarrow \mathrm{indeterminado}}$

$\mathrm{\large{hay\ que\ salvar\ la\ indeterminación:}}$

$(x+h)^3=(x+h)(x+h)(x+h)=(x+h)(x^2+2xh+h^2)=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3$

$\mathrm{\large{Reemplazando:}}$

$\displaystyle{\lim_{h\to 0}\frac{a(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3)-ax^3}{h}}$

$\displaystyle{\lim_{h\to 0}\frac{ax^3+3ax^2h+3axh^2+ah^2-ax^3}{h}}$

$\displaystyle{\lim_{h\to 0}\frac{3ax^2h+3axh^2+ah^2}{h}}$

$\mathrm{\large{sacar \ factor \ común \ h:}}$

$\displaystyle{\lim_{h\to 0}\frac{h(3ax^2+3axh+ah)}{h}}$

$\mathrm{\large{simplificando \ h:}}$

$\displaystyle{\lim_{h\to 0}3ax^2+\overbrace{3axh+ah}^0=3ax^2}$

$\mathrm{\large{Respuesta:}}$

$\displaystyle{\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=3ax^2$