Respuestas
1) -1/2 ; 2 ) -4/11 ; 3) 1/3 ; 4) 6/5 ; 5) -2 ;6) 1 ; 7) ∞ : 8) ∞
Los límites planteados se resuelven a continuación, primero sustituyendo el valor de la variable para obtener el resultado o si da 0/0 es indeterminado y se requiere eliminar la indeterminación que puede ser factorizando para simplificar y llegar al resultado o si es límites con x →∞ se divide entre la mayor potencia de la variable x el numerador y el denominador y después se evalúa para llegar al resultado .
1) Lim x→2 ( 3x -2x²-3 )/(2x+6 ) = ( 3*2 -2*2²-3 )/(2*2+6 ) = ( 6- 8-3 )/10= -5/10 = -1/2
2) Lim x →-1 ( 2x³-4x -x⁴-5 )/(x²-4x +6 ) =( 2*(-1)³-4*(-1)-(-1)⁴-5 )/((-1)²-4*(-1)+6 ) =
= ( -2+4-1-5)/(1+4+6 ) = 4-8 / 11 = -4/11
3) Lim x→-3 ( 2x+6 ) /(9-x² ) = ( 2*-3 + 6 )/( 9-9 )=0/0
Lim x→-3 2( x+3 )/(3-x )*(3+x) = lim x→ -3 2/(3-x )= 2/( 3-(-3)) = 2/6 = 1/3
. 4) Lim x→0 ( 4x³-2x²-6x)/(6x²-5x) = 0/0
lim x→0 x( 4x²-2x-6)/x(6x-5) = lim x→0 ( 4x²-2x-6 )/( 6x-5 ) = ( -6/-5 ) = 6/5
5 ) limx→∞ ( 2x³-6x²-5x+8 )/( 3x²-4x-x³) = ∞/∞
se divide entre la mayor potencia de x , osea x³:
lim x→∞ ( 2x³/x³ -6x²/x³-5x/x³+8/x³)/(3x²/x³-4x/x³-x³/x³ ) =
lim x→∞ ( 2 - 6/x - 5/x²+ 8/x³)/(3/x -4/x²-1 )
= ( 2 - 6/∞ - 5/∞² +8/∞³)/(3/∞ - 4/∞² -1 ) = 2 /-1 = -2
6) lim x→∞ √ ( 9x²-6x+3) /(3x+6) = ∞/∞
limx→∞ √ ( 9x²/x²-6x/x²+3/x² ) /( 3x/x + 6/x )
lim x→∞ √( 9 -6/x + 3/x² ) / 3+ 6/x ) = √( 9-6/∞+ 3/∞² )/( 3 + 6/∞ )
= √9 / 3 = 3/3 = 1
7) Lim x→∞ ( √( x²-3x +4) +x ) = (√( ∞²-3*∞+4 ) + ∞ ) = ∞
8) Lim x→∞ ( 8-3x+9x² )/( 4x³-6x+1 ) = ∞/∞
Lim x→∞ ( 8/x³-3x/x³+9x²/x³ )/( 4x³/x³-6x/x³+1/x³) =
Lim x→∞ ( 8/x³-3/x²+9/x )/( 4 -6/x²+1/x³ ) = ∞/ 4 = ∞
Resolviendo problema de calculo de limites
Es importante tener en cuenta que para limites que tienen al infinito y que tienen indeterminaciones de la forma
Limx→∞ P(x)/Q(x)
Hay algunos cálculos directos
- P(x) >Q(x) manda P es decir resultado es infinito o menos infinito
- Q(x) >P(x) manda Q resultado es 0
- P(x) = Q(x) se toman en cuenta cocientes de mayores exponentes
1) Lim x→2 ( 3x -2x²-3 )/(2x+6 ) en este caso solo evaluamos x = 2
( 3*2 -2*2²-3 )/(2*2+6 ) ahora resolvemos las operaciones con todos los números
( 6- 8-3 )/10 = -5/10 = -1/2 este resultado es la evaluación del limite
Lim x→2 ( 3x -2x²-3 )/(2x+6 ) = -1/2
2) Lim x →-1 ( 2x³-4x -x⁴-5 )/(x²-4x +6 ) Al igual que el anterior evaluamos x = -1, y resolvemos las operaciones matemáticas
( 2*(-1)³-4*(-1)-(-1)⁴-5 )/((-1)²-4*(-1)+6 )
( -2+4-1-5)/(1+4+6 ) = 4-8 / 11 = -4/11
Lim x →-1 ( 2x³-4x -x⁴-5 )/(x²-4x +6 ) = -4/11
3) Lim x→-3 ( 2x+6 ) /(9-x² ) Evaluamos x =-3
( 2*-3 + 6 )/( 9-(-3)³ )=0/0 es una forma indeterminada aplicamos L'hopital (derivamos arriba y abajo)
Lim x→-3 (2/-2x)
2/-2(-3) = 2/6 = 1/3
Lim x→-3 ( 2x+6 ) /(9-x² ) = 1/3
4) Lim x→0 ( 4x³-2x²-6x)/(6x²-5x) = 0/0 esto es una indeterminación por lo cual aplicaremos L'Hopital
Lim x→0 (12x² - 4x - 6)/(12x - 5)
(12(0)² - 4(0) - 6)/(12(0) - 5) = -6/-5 = 6/5
Lim x→0 ( 4x³-2x²-6x)/(6x²-5x) = 6/5
5 ) Lim x→∞ ( 2x³-6x²-5x+8 )/( 3x²-4x-x³) Obviamente al evaluar x = ∞, y sus exponentes o el grado de ambos polinomios es igual la indeterminación sera = ∞/∞, aplicamos L'hopital
Lim x→∞ ( 6x²- 12x - 5)/(6x - 4 - 3x²) sin embargo una de las propiedades nos dice que si P = Q en el grado de polinomio sus cocientes son 6 y -3
Lim x→∞ ( 2x³-6x²-5x+8 )/( 3x²-4x-x³) = 6/-3 = -2
6) Lim x→∞ √ [( 9x²-6x+3)] /(3x+6) Evaluamos igualmente el x = ∞
Lim x→∞ √ [( 9x²-6x+3)] /(3x+6) =∞/∞
ahora tomaremos en cuenta criterio de grado de polinomio
P = 2/2
Q = 1 El termino radical y el exponente del polinomio mayor denotan los cocientes en P = √9x² Y Q = 3x ,P es igual que Q, Por lo cual la evaluación da como resultado sus cocientes.
Lim x→∞ √ [( 9x²-6x+3)] /(3x+6) = √9 / 3 = 3/3
Lim x→∞ √ [( 9x²-6x+3) /(3x+6)] = 1
7) Lim x→∞ ( √[( x²-3x +4)] +x ) este limite es lineal no tiene que aplicarse ninguna regla en si, ya que esta claro que al evaluar x = ∞, nuestro resultado sera un valor tan grande como ∞
(√[( ∞²-3*∞+4 ) ] + ∞ ) = ∞ y no es un valor indeterminado
8) Lim x→∞ ( 8-3x+9x² )/( 4x³-6x+1 ) evaluamos x = ∞
( 8-3∞+9∞² )/( 4∞³-6∞+1 ) = ∞/∞ tenemos una indeterminación, pero en este caso el polinomio Q tiene grado mayor que P
- P = x²
- Q = 4x³ Cuando en un limite el denominar tiene mayor grado el valor de evaluación del limite tiende a 0, siendo este su valor directo
Lim x→∞ ( 8-3x+9x² )/( 4x³-6x+1 ) = 0
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