Question

Construye y representa un diagrama de venn con tres conjuntos A,B y C Luego Verifica que se satisfagan cada una de las siguientes propiedades a. A-B=AnB, b. A-(BnC)=(A-B)u(A-C)

Answer 1

Sean los siguientes conjuntos, ver imagen anexa:

A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 24}

B = { 2,5,9,11,12, 13,15, 16, 17,24}

C= { 3, 4, 5, 10, 12, 15, 17, 18, 19, 22}

Verificar las siguientes igualdades:

a.- A-B=A∩Bc,

Resolviendo cada lado de la igualdad se tiene:

A - B  = {1, 3, 4, 6, 7, 8, 10}

Ahora, el complemento de B, Bc, es:

Bc = {1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 18, 19, 22}

Si se intersecta con A, es decir:

A∩Bc =  { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 24} ∩ {1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 18, 19, 22}

          = {1, 3, 4, 6, 7, 8, 10}

Como se puede observar, es igual al resultado A - B, por lo que la igualdad

A - B = A∩Bc se satisface.

b.-  A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)

Resuélvase cada lado de la igualdad, comenzado por lo que está entre paréntesis:

B∩C = {2, 5, 9, 11, 12, 13,15, 16, 17,24} ∩ {3, 4, 5, 10, 12, 15, 17, 18, 19, 22} ⇒

B∩C = {5, 12, 15, 17}

A - B∩C =   { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 24} - {5, 12, 15, 17} ⇒

A - B∩C = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 24};       1)

Sean las operaciones al otro lado de la igualdad, comenzado por lo que están entre paréntesis:

Ya sabemos, por el ejercicio a), que:

A - B  = {1, 3, 4, 6, 7, 8, 10}

Ahora,

A - C={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 24}-{ 3, 4, 5, 10, 12, 15, 17, 18, 19, 22}

⇒     A - C = {1, 2, 6, 7, 8, 9, 11, 24}

Por otra parte, haciendo la unión de los 2 resultados anteriores:

(A-B)∪(A-C)  =  {1, 3, 4, 6, 7, 8, 10} ∪ {1, 2, 6, 7, 8, 9, 11, 24}   ⇒

(A-B)∪(A-C)  =  {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9,10, 11, 24}  

que es igual al resultado 1), de este 2do ejercicio, con lo cual se verifica

que  A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C).

A tu orden...