Question

Demostrar que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional.

Answer 1

hay muchas maneras de demostrar que $\sqrt{2}$ es irracional.

Demostración por reducción al absurdo:

lo que se busca con esta demostración es afirmar algo,luego se desarrolla dónde se llega a un absurdo que contradice la afirmación.

suponiendo que $\sqrt{2}$ es un número racional entonces se puede expresar como una fracción $\large{\mathrm{ \textcolor{blue}{ireducible}}}$

$\sqrt{2}=\frac{a}{b}$

dónde $b≠0$ y $a \ y \ b$ $\large{\mathrm{\textcolor{red}{no \ tienen \ factores \ comunes \ excepto \ el \ 1}}}$

elevando al cuadrado en ambos miembros:

$(\sqrt{2})^2=\left(\frac{a}{b}\right)^2\Longrightarrow 2=\frac{a^2}{b^2}$

pasando multuplicando $b^2$ entonces queda:

$2b^2=a^2$

$2b^2=a^2$ se puede afirmar que $a^2$ es múltiplo de 2 entonces $a$ también es múltiplo de dos, todo múltiplo de dos se puede expresar como una multiplicación de 2 por un número natural entonces se puede escribir $a=2n$ Reemplazando:

$2b^2=(2n)^2\Rightarrow 2b^2=4n^2 \Rightarrow b^2=2n^2$

$b^2=2n^2$ se. puede afirmar que $b^2$ es múltiplo de dos entonces $b$ también es múltiplo de 2. se puede escribir $b=2m$ siendo $( m\in\mathbb{N})$.

$a$ y $b$ son múltiplos de dos, entonces $a$ y $b$ tienen como factor común al 2.

$\large{\mathrm{\textcolor{green}{acá \ se \ presenta\ el\ absurdo}}}$: se había afirmado que la fracción era ireducible y que no tenían factores comunes excepto el 1, pero se llegó a que 2 es factor común entonces la fracción es reducible.

conclusión: $\sqrt{2}$ es irracional

Answer 2

Respuesta:

La raíz cuadrada de 2 fue posiblemente el primer número irracional conocido. Geométricamente equivale a la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado es igual a la unidad, lo cual se comprueba aplicando el llamado teorema de Pitágoras, también conocida como constante pitagórica.